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1、第七讲曲线积分与曲面积分一、空间曲线的参数化若积分曲线的参数方程,则曲线积分的计算公式为曲线积分计算的关键是如何将积分曲线参数化。下面将给出积分曲线参数化的某些常用方法。1.设积分曲线,从中消去某个自变量,例如，得到在xoy平面的投影曲线，这些投影曲线常常是园或是椭圆，先将它们表示成参数方程然后将它们代入中，解出由此得到的参数方程：。例1将曲线，(其中)用参数方程表示。解：从的方程中消去y，得到xoz平面上的投影曲线,这是椭圆，它的参数方程为，将其代入的方程，得到,所以的参数方程为。1.若的方程中含有园、椭圆或球的方程时，要充分利用
2、园、椭圆或球的所熟知的参数方程先将其参数化，再代入的另一方程，求出另一变量的参数表达式。例2将曲线，(其中)用参数方程表示。解：在xoy平面的投影曲线为,这是一个圆，先将其参数化。因为,所以它的参数方程为，将其代入得所以的参数方程为。例3对例1加一个条件，求它的参数方程。解：是球面，引入球坐标，由于得，故二、曲线积分的计算1.注意到曲线积分的被积函数是定义在积分曲线上的，因此它的自变量应满足积分曲线方程，所以首先可用积分曲线方程去化简被积函数。2.对称性的应用(以第一类平面曲线积分为例)(1)曲线关于x轴对称，是指,换句话说，若则它
3、的对称点；(2)曲线关于y轴对称，是指,换句话说，若则它的对称点；(3)曲线关于原点对称，是指,换句话说，若则它的对称点；(4)曲线关于直线对称(或直线对称)，是指,(或),换句话说，互为对称点，互为对称点。若曲线积分的被积函数在任意的对称点处的函数值互为相反数，则；在任意的对称点处函数值都相等，则，其中是相应对称积分曲线的一半。例1计算(1),其中;(2),其中,周长为a。解：(1)由于关于y轴对称，被积函数x在对称点处的函数值互为相反数，所以。由于关于直线对称，函数在对称点处互为相反数,所以,即，从而有由于的参数方程为，所以.（
4、2）.其中关于x轴对称，且2xy在对称点处的值互为相反数，所以.例2设，求弧长的曲线积分，其中为正方形的边界。解：如图,由于折线对关于直线对称，且在对称点上有,所以,；,原式。例3计算，其中。解：(1)由于在上，所以由例1的参数方程为,则.所以。1.格林公式的应用(1)若积分曲线不是封闭，则可添加若干条直线(或曲线)使之构成封闭曲线，再应用格林公式；(2)若封闭曲线L所围成的区域D内有“奇点”,则在奇点外成立等式的条件下，有成立，其中Le是围绕奇点的正向简单闭曲线，通常是园或椭圆等。例1设记为它的正向边界曲线。证明：证：由格林公式得
5、其中，是由于是关于直线对称，即。同理可证。两积分相等可由格林公式得出。例2计算，其中是以(1,0)为中心R(R>1)为半径的正向圆周。解：首先验证成立。由于在为边界的闭区域内有不连续点(0,0)，因此在内部作正向闭曲线，其中充分小，所以例3.已知关于坐标的曲线积分(常数)，其中函数可导，且是围绕(0,0)的任一分段光滑正向闭曲线，求（1）函数的表达式；（2）A的值。解：（1）为了应用格林公式求出，先计算对于任一不包含原点的分段光滑的正向闭曲线C都有.(因为未知,所以原点有可能为被积函数的不连续点)如图：由此可知对有成立，即，解此微分
6、方程得，由于所以C=1所求的。（2）取L1为正向圆周，则。4．利用曲线积分来计算曲面的面积（1）柱面被曲面截下部分的面积。计算公式为，其中在xoy面上的投影曲线.例1求柱面位于球面之内的侧面的面积。解：由于关于三个坐标面都对称，所以(S0是S位于第一卦限部分的面积)。由对弧长的曲线积分的几何意义，知道所以.（2）由坐标面上的平面曲线绕某轴旋转一周而成的旋转曲面的面积。例如yoz平面上的曲线绕y轴旋转一周而成的旋转曲面的面积.计算公式为例2设，，求的表面位于内部分的的面积。解：如图：的表面位于内部分的曲面可以看成是由AB绕z轴旋转一周
7、而成的旋转的侧面，，所以.三、曲面积分的计算1.第一类曲面积分的对称性(1)曲面关于xoy平面对称，是指若则它关于xoy平面的对称点；(2)曲面关于原点对称，是指则它的对称点；(3)曲面关于平面对称，是指则它的对称点；若被积函数的在对称点处的函数值互为相反数，则；在对称点处函数值相等，则，其中是相应对称积分曲面的一半。例1求下列曲面积分（1），其中；（2），其中；解：（1）由于关于平面对称,且函数在对称点处的值互为相反数,故，所以。（2），，故.2.第二类曲面积分的对称性及高斯公式（1）设曲面关于xoy平面对称，若被积函数的在对称点
8、处的函数值互为相反数，则；在对称点处函数值相等，则，其中是相应对称积分曲面的一半。若x与y互换，的方程及侧不变，则，若x与z互换，的方程及侧不变，则，（2）当不是闭曲面时，适当添上一块外侧曲面,使得组成闭曲面(所围成的闭区域为)，于是
