高二导数练习题(教师版).doc

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1、导数练习题（教师版）题型一：求参数的取值范围与最值1.已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)能否为R上的单调函数，若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由解　(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，∵ex>0，∴－x2＋2>0，解得－

2、区间是(－，)．(2)∵函数f(x)在(－1,1)上单调递增，∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)都成立．∵f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1,1)都成立．∵ex>0，∴－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)都成立，即x2－(a－2)x－a≤0对x∈(－1,1)恒成立．设h(x)＝x2－(a－2)x－a只须满足，解得a≥.(3)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立．∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立

3、．∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故函数f(x)不可能在R上单调递减．若函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈R都成立．∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≤0对x∈R都成立．而x2－(a－2)x－a≤0不可能恒成立，故函数f(x)不可能在R上单调递增．2.已知函数f(x)＝(1＋x)2－ln(1＋x)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若x∈[－1，e－1]时，f(x)

4、＋x)－＝(x>－1)．∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)令f′(x)＝0，即x＝0，则x(－1,0)0(0，e－1)f′(x)－0＋f(x)极小值又∵f(－1)＝＋1，f(e－1)＝e2－1>＋1，又f(x)e2－1.3．已知函数f(x)＝4x3－3x2cosθ＋，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤.(1)当cosθ＝0时，判断函数f(x)是否有极值；(2)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(2a－

5、1，a)内都是增函数，求实数a的取值范围．解:(1)当cosθ＝0时，f(x)＝4x3＋，则函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，故无极值．(2)f′(x)＝12x2－6xcosθ，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.由0≤θ≤及(1)，只考虑cosθ>0的情况．当x变化时，f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值因此，函数f(x)在x＝处取得极小值f，且f＝－cos3θ＋.要使f>0，必有－cos3θ＋>0，可得0

6、题设，函数f(x)在(2a－1，a)内是增函数，则a须满足不等式组或由(2)，θ∈时，0

7、．（1）当时，证明函数只有一个零点；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．解：（2）法一：因为其定义域为，所以．①当时，在区间上为增函数，不合题意；②当时，等价于，即．此时的单调递减区间为．依题意，得解之得；③当时，等价于，即·此时的单调递减区间为，得；综上，实数的取值范围是．法二：由在区间上是减函数，可得在区间上恒成立．①当时，不合题意；②当时，可得即．法三：令，由于开口向下且恒过点，所以要使，只需法四：在上递减，要使，只需法五：，即或（）6．已知函数．（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；（II）若函数在区间上不单调，求的取值

8、范围．解析：（Ⅰ）由题意得又，解得，或