角平分线课件（华东师大版八年级下）.ppt

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1、19.4.3角平分线角平分线的性质是什么用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？角平分线上的点到这个角的两边的距离相等回顾思考？角平分线的这条性质是怎样得到的呢？角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.你能用三角形全等证明这个性质吗？已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE证明：∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2又∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90

2、°在ΔOPD和ΔOPE中∵∠1=∠2∠PDO=∠PEOOP=OP(公共边)∴ΔOPD≌ΔOPE(AAS)∴PD=PEAOBEDPC12自学检测：定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，BC=8，BD=5，求DE。ABCDE12证明：∵∠C=90°（已知）∴DC⊥AC（垂直的定义）又∵AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB（已知）∴CD=DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）又∵BC=8，BD=5∴CD=BC－BD=8－5=3∴DE=3做完本题后，你对角平

3、分线,又增加了什么认识?思考角平分线的性质，为我们证明两线段相等又提供了新的方法与途径。反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．OCB1A2PDE证明：PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，在Rt△PDO与Rt△PEO中∴∠PDO=∠PEO=Rt∠PD=PE（已知）｛OP=OP（公共边）∴Rt△PDO≌△PDO∴∠1=∠2即点P在∠AOB的平分线上到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。已知：PD⊥OA，PE

4、⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上。角平分线的判定定理AOBPDEC用符号语言表示为：∵PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB∴∠AOC=∠BOC.2.已知：如图，∠C=∠C′=90°，AC=AC′.求证（1）∠ABC=∠ABC′；（2）BC=BC′.（要求不用三角形全等的判定）CBAC′证明：∵∠C=∠C′=90°，AC=AC′（已知）∴∠ABC=∠ABC′（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上）又∵∠ABC+∠BAC=∠ABC′+∠BAC′=90°（直角三角形的两锐角互余）∴∠BAC=∠BAC′（

5、等角的余角相等）又∵∠C=∠C′=90°（已知）∴BC=BC′（角平分线上的点到角的两边的距离相等）2.如图所示，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点。求证：∠BDP=∠CDP1.如图所示，△ABC中，AB=AC，M为BC中点，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E。求证：MD=ME。当堂检测：3.已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：（1）点P到三边AB、BC、CA的距离相等.（2）AP平分∠A.证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在B

6、M上（已知）∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF（等量代换）.即点P到边AB、BC、CA的距离相等∴AP平分∠A（在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）DEFABCPMN提高训练证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°（已知）∴CD＝DE(角平分线的性质)在Ｒt△FCD和Rt△DBE中CD=DE（已证）DF=DB（已知）∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=DE（全等三角形对应边相等）4.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB

7、于E，F在AC上，BD=DF.求证：CF=EB。提高训练