2012届高考数学二轮复习课件：专题9 转化和化归 数学思想方法.ppt

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1、理解转化与化归是高中数学的重要思想方法，会运用转化与化归思想解决问题．数学问题的解答离不开转化与化归．它既是一种数学思想又是一种数学能力．高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点．诸如常量与变量的转化、数与形的转化、实际问题向数学模型的转化、以及数学各分支之间的转化都是高考的热点问题．特别是实施新课标之后，高考考题不再向数学知识的纵深发展，而是以基础知识为出发点，转化与化归思想在解决问题中起到了更大的作用．化归是转化与归结的简称，其基本内涵是：人们在解决数学问题时，常常将待解决的问题A，通过某种转化手段，归结为另一问题B，而问题B是相对较容易解决的或已经有固定

2、解决模式的问题，且通过问题B的解决可以得到原问题A的解．用框图可直观地表示为：其中问题B称为化归目标或方向，转化的手段称为化归策略．化归思想有着坚实的客观基础，它着眼于揭示联系，实现转化，通过矛盾转化解决问题．2．化归的原则(1)目标简单化原则，即复杂的问题向简单的问题转化；(2)和谐统一性原则，即化归应朝着待解决的问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当；(3)具体化原则，即化归方向应由抽象到具体；(4)低层次原则，即将高维空间问题化归成低维空间问题．基于上述原则，化归就有一定的策略．我们在应用化归方法时，应“有章可循，有法

3、可依”通常可以从以下几个方面去考虑：(1)抽象问题与具体问题化归；(2)一般问题与特殊问题化归；(3)正向思维与逆向思维化归；(4)命题与等价命题化归．3．转化与化归的常见方法(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化．(5)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决

4、的问题．(6)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．(7)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．(8)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．(9)一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化．(10)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．(11)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条件，从而能将原命题转化为一个较易证明的命题．加强命题法是非等价转化方

5、法．(12)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA获得原问题的解决．以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割．[例2]　已知a∈R，求函数y＝(a－sinx)(a－cosx)的最小值．[分析]y＝(a－sinx)(a－cosx)＝a2－a(sinx＋cosx)＋sinxcosx.而sinx＋cosx与sinxcosx有联系，可设t＝sinx＋cosx，则原来的问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题．[例3]　试求常数m的范围，使曲线y＝x2的所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平

6、分．[分析]正面解决较难，考虑到“不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，于是问题转化为“抛物线y＝x2上存在两点关于直线y＝m·(x－3)对称，求m的取值范围”，再求出m的取值集合的补集即为原问题的解．[评析]1.在运用补集的思想解题时，一定要搞清结论的反面是什么，“所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分”的反面是“至少存在一条弦能被直线y＝m(x－3)垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直线y＝m(x－3)垂直平分”．2．在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探索．(2011·江苏启东5月)已知

7、集合A＝{y

8、y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝{y

9、y2－6y＋8≤0}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为________．[解析]由题意得A＝{y

10、y>a2＋1或y

11、2≤y≤4}，我们不妨先考虑当A∩B＝∅时a的取值范围．如图：[例4]　如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.[分析]证明线面平行，常用方法是转化为证线线平行或面面平行；证明面面垂直