小球能一直沿光滑曲面运动下去吗？.pdf

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1、Vo1．36NO．7物理教师第36卷第7期(2O15)PHYSICSTEACHER2015年小球能一直沿光滑曲面运动下去II-57陈科(甘肃省康县第一中学，甘肃康县746500)摘要：本文用高中物理矢口识和基础高等数学知识，分圆面、抛物面和椭圆面3种情况，严格地解决了“初速度为0的小球能否沿光滑曲面一直运动下去?”这一基本物理问题，得出了正确结论．对高中物理教学、基础物理教学和高等数学知识的活学活用方面都有较为重要的借鉴意义．关键词：光滑圆面；光滑抛物面；光滑椭圆面；物体沿曲面运动初速度为0的小球能沿任意光滑斜面一直运ZbY一一‘动下去，这是众多高中生都熟悉的．那么，

2、初速度为0的小球沿光滑曲面也能一直运动下去吗?本A点曲率半径为文将分3种情况：圆面、抛物面和椭圆面，就这一(d~4b。)号一f(1+)号{一问题做一探讨，供各位同行参考．lD—l—rl～——1光滑圆面情况又tan一-y一一2bz，则一设小球将在A点脱离圆面，如图1所示．cos一——．(＆+4b。。)寺圆的方程为R从最高点到A点机械能守恒，有+v。一R参数方程为rag(b-)一÷m．—Rsln，Y—Rcos{)．在A点的脱离条件为从最高点到A点机械能守0xORX恒，有图1光滑圆面Ⅲgcos一．Prag(R-y)一÷。．由以上各式，解得“一0．在A点的脱离条件为方程两边含

3、．27的项刚好抵消，方程无解．rngcos{)一”z'U-．故初速度为0的小球将不会脱离抛物面，且将一直沿光滑抛物面运动下去．实际上，由于该抛由以上各式，解得9物面是以初速度70o—a√做平抛运动的物体的cos一亏，一48。·故初速度为0的小球不可能一直沿光滑圆面运动轨迹，初速度为0的小球当然不会脱离该抛物面．下去，且将在===48。处脱离圆面．3光滑椭圆面情况2光滑抛物面情况设小球将在A点脱设小球将在A点脱离椭圆面，如图3所示。离抛物面，如图2所示．椭圆的方程为抛物线的方程为“：+‘：：1“．v=b-：．参数方程为以一对Y关于求一阶、二阶—acos{)，Y：bsin

4、{)．图2光滑抛物面分别对与Y关于求一阶、二阶导数，得导数，得()一一“sin0，』，()一一“COs．，26一～。’，flv(口)=hco~，(臼)一一n(下转第64页)Vo1．36N0．7物．W-教师第36卷第7期(2015)PHYSICSTEACHER2015年由(2)、(3)两式呵得第11分道运动员比第1分道将rl—r+0．30m，一r+(～1)d+0．20m，r一运动员总共多跑的距离为36．51TI，一1．221TI和一84．39m代入(5)一(7)As一As1+As砣一(r一r1)+一式，可得各分道运动员的位移大小如表1所示表1800m竞赛各道次的位移和路

5、程的比较~／一(一r1)．(4)将r．一r+0．30，r一r+(”一1)d+0．2O代人(4)道次12340678”式，可得路程8OO800800800800800800800As，一s+Ⅱ[(”～1)d～0．1O]一／m~／一[(n一1)d一0．1O]。．(5)位移O3显然，(5)式的值就是在800FI1竞赛中第”分道的大小／．657．52l1．2914．96l8．5322．OO25．38m起跑线前伸数．位移方向从起跑点指向终点1．3800In竞赛中不同道次运动员的位移计算根据位移的定义，第1道运动员发生的位移2小结显然为0，而第”道运动员的位移应该是从起跑点通过对

6、试题800m竞赛情景的深度挖掘，不指向第1道起跑点的有向线段．但使学生全面了解800m竞赛的规则，理解了计设第道起跑点前伸至A点，由(5)式可得，第算线、前伸数、切入差等体育专业知识，更为重要”分道的起跑线前伸数所对应的圆弧圆心角为的是，学生参与了问题解决的过程，亲历了知识的^0一兰．(6)生成，体验了成功的快乐，培养了探究的意识，提r¨高了解决实际问题的能力和勇气．在△OAA中应用余弦定理可得位移的大小为(收稿日期：2015—03—18)s一~／r1。+r。一2r1rcos0．(7)(上接第62页)(A+B一)+3(瓣+)×那么，关于的一阶导数为)===—一bcos

7、~(沤+海)一0．．要使以上方程式成立，必须同时满足A点曲率半径为A+B一+_0．f(()+v())号{lD—l7j～解上面关于A和B的方程组，得(“sin+。cos。){——————一A一+b2f~-2b2一，’又tana一)：～，则B一一／巡a2-b2Na2-t)2．nsinOCOS~'一———————————————r．(＆sin+bCOS)寺则一(√H+从最高点到A点机械能守恒，有rag(b--y)一~-；r／V。．√一√)．在A点的脱离条件为即初速度为0的小球不可能一直沿光滑椭圆2面运动下去，且将在以上确定位置脱离圆面．gCOSof—m一．