圆与相似综合题的有关定理.doc

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1、圆和相似综合题有关定理1、圆幂定理（在证明比例式、求线段长度时将发挥重要作用。）定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于点P。PA·PB＝PC·PD连结AC、BD，证：△APC∽△DPB切割线定理⊙O中，PT切⊙O于点T，割线PB交⊙O于点A。PT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT割线定理PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、C两点。PA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理2、托勒密定理：圆内接四边形两组对边乘积之和，等于两条对角线的乘积。已知：四边形ABCD内接于圆，如图，求证：AB·CD+BC·AD

2、=AC·BD证明：在∠BAD内作∠BAE=∠CAD，交BD于E。因∠ABE=∠ACD，所以△ABE∽△ACD，从而得AB·CD=AC·BE①；易证△ADE∽△ACB，从而得BC·AD=AC·DE②；①+②得AB·CD+BC·AD=AC（BE+DE）=AC·BD3、弦切角定理：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角称为弦切角。弦切角等于弦与切线所夹弧所对的圆周角。弦切角定理的证明：已知：AP切⊙O于P，PQ是弦，则∠APQ是弦切角，∠APQ夹的弧是弧PQ，弧PQ所对的圆周角记为∠PCQ证明：∠APQ=∠PCQ（弦切角的位置分以下三种情况）1°圆心O在∠AP

3、Q外部过P作直径BP，联结BC则BP⊥AP，∠APB=90°，且∠BCP是直径BP所对的圆周角，∠BCP=90°则有∠APB=∠BCP，即∠APQ+∠BPQ=∠BCQ+∠PCQ由于∠BPQ，∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以∠BPQ=∠BCQ所以∠APQ=∠PCQ2°圆心O在∠APQ的一边，PQ上此时PQ是直径，则PQ⊥AP，∠APQ=90°而且∠PCQ是直径PQ所对的圆周角，∠PCQ=90°所以∠APQ=∠PCQ3°圆心O在∠APQ内部过P作直径BP，联结BC则BP⊥AP，∠APB=90°，且∠BCP是直径BP所对的圆周角，∠BCP=90°则有∠APB=∠

4、BCP由于∠BPQ，∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以∠BPQ=∠BCQ所以∠APB+∠BPQ=∠BCP+∠BCQ即∠APQ=∠PCQ