2、积分区间积分下限返回目录3.的实质(1)当f(x)在区间［a,b］上大于0时,表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的.这也是定积分的几何意义.(2)当f(x)在区间［a,b］上小于0时,表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的.面积的相反数面积(3)当f(x)在区间［a,b］上有正有负时,表示介于x=a,x=b(a≠b)之间x轴之上、下相应的曲边梯形的面积的代数和.4.定积分的运算性质(1)=.(2)=.(3)=.返回目录返回目录5.微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间［a,b］上的连续函数,并且F′(x)=f(
3、x),那么=F(b)-F(a).这个结论叫做微积分基本定理,其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.F(b)-F(a)记为F(x).即=F(x)=F(b)-F(a).6.利用微积分基本定理求定积分的关键是可将基本初等函数的导数公式逆向使用.求被积函数的原函数返回目录考点一利用微积分定理求定积分计算下列定积分:(1)x(x+1)dx;(2)(e2x+)dx;(3)sin2xdx.题型分析【分析】求出被积函数的原函数,用微积分基本定理进行求解,计算f(x)dx的关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x).其中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到.返回目录【解析】(1)∵x(x+1)=
4、x2+x且(x3)′=x2,(x2)′=x,∴x(x+1)dx=(x2+x)dx=x2dx+xdx==(×23-0)+(×22-0)=.返回目录(2)∵(lnx)′=,(e2x)′=e2x·(2x)′=2e2x,得e2x=(e2x)′,所以(e2x+)dx=e2xdx+dx=e2x+lnx=e4-e2+ln2-ln1=e4-e2+ln2.(3)由(sin2x)′=cos2x·(2x)′=2cos2x,得cos2x=(sin2x)′,所以sin2xdx=(-cos2x)dx=dx-cos2xdx=x-(sin2x)=(-0)-(sin2π-sin0)=.返回目录返回目录【评析】计算一些简单的定积
5、分，解题的步骤是：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用微积分基本定理求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值.返回目录＊对应演练＊求下列定积分:(1)(2x-3x2)dx;(2)sin2dx;(3)(x+)dx.(1)(2x-3x2)dx=2xdx-3x2dx=x2-x3=-18.(2)sin2dx=dx=dx-cosxdx=x-sinx=.返回目录(3)(x+)dx=xdx+dx=x2+lnx=+ln2.返回目录返回目录考点二分段函数的定
6、积分计算下列定积分:(1)
7、sinx
8、dx;(2)
9、x2-1
10、dx.【分析】对于第(1)小题,应对在区间［0,2π］上的正、负进行分情况计算；而对于第（2）小题，在0≤x≤2的条件下，对x2-1的正、负情况进行讨论.【解析】(1)∵(-cosx)′=sinx,∴
11、sinx
12、dx=
13、sinx
14、dx+
15、sinx
16、dx=sinxdx-sinxdx=-cosx+cosx=-(cosπ-cos0)+(cos2π-cosπ)=4.返回目录(2)∵0≤x≤2,x2-1(1≤x≤2)1-x2(0≤x≤1),∴
17、x2-1
18、dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx=(x-x3)+(x3-x)=(1-)+(×23-
19、2)-(-1)=2.【评析】(1)含绝对值的函数实际上就是分段函数.(2)分段函数在区间［a,b］上的定积分可分成几段定积分和的形式,分段的标准就是分段函数的标准.返回目录∴
20、x2-1
21、=＊对应演练＊x3x∈［0,1］x2x∈(1,2］2xx∈(2,3］在区间［0,3］上的积分;(2)计算:dx.返回目录(1)求函数f(x)=(1)由积分性质知f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx
