第三章 拉氏变换(1)

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1、第三章拉氏变换要了解一个系统的性能,要求解一个系统的微分方程.然而,解微分方程并非易事.拉氏变换的优点就在于把解微分方程的问题化为代数运算。是建立系统传递函数的理论基础。傅氏变换公式傅氏反变换公式①满足狄利克雷（Dirichlet充分条件）：设函数f(t)是以T为周期的周期函数，在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点；②函数在无限区间内绝对可积，即第二条很多函数不满足，如阶跃函数、正弦函数、恒速函数等拉氏变换为保证积分收敛，对函数f(t)乘上一个衰减函数e-αt，即得f(t)e-αt，其中，α为正实数；根

2、据工程实际，把积分区间由[-∞,+∞]缩小为[0,∞]。为此，函数再乘上一个单位阶跃函数现对函数f(t)e-αtΓ(t)取付氏变换得根据单位阶函数Γ(t)的特性有：01t令：则：——拉普拉斯变换公式。建立系统传递函数的理论基础傅立叶（1768-1830）在他的1822年出版的《热的解析理论》一书中，提出了傅立叶级数的概念。傅立叶级数的物理本质是将一个函数（或者说信号）用一系列的正弦函数和余弦函数进行迭加拟合。对于一个连续的非周期信号，可将其周期为无穷大时，可以将时间间隔取为无穷小，从而把级数的形式变成积分的形式。FFT(FastFo

3、urierTransform)拉普拉斯1799年到1825年期间，拉普拉斯出版了五卷本的巨著《天体力学》（开普敦）例1求单位阶跃函数Γ(t)的拉氏变换可见，求函数的拉氏变换，只是一般的积分运算。解例2求单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换0tδ(t)∞0tδc(t)ε1/ε={00ε=11.按定义计算2.按照拉氏变换表求解简单、常用函数的拉氏变换要记住！求函数f(t)=sinkt的拉氏变换（k为实数）第二节拉氏变换的几个定理1.线性定理若l[f(t)]=F(s)，则若且则2.延时定理，若f(t-α)为f(t)的延时函数

4、，其中α为任意正实数，且ℓ[f(t)]=F(s)则ℓ[f(t-α)]=e-αsF(s)函数在时域中延时，在复域中衰减0tf(t)f(t)f(t-α)求e-β(t-α)的拉氏变换。其中，α、β均为正实数求幅值为1，宽度为α的矩形波的拉氏变换0tf(t)α1解：矩形波的函数为：f(t)=1(t)-1(t-α)举例3.衰减定理若ℓ[f(t)]=F(s)，则ℓ[e-αtf(t)=F(s+α)。其中α为实数函数在时域中衰减，则在复域中偏移证明：求4.相似定理若则函数变量在时域中缩小（扩大）α倍时，则在复域中扩大（缩小）α倍已知则已知则