拉氏变换讲稿(1)

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1、第章拉普拉斯变换的数学方法拉普拉斯变换简称拉氏变换，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，使系统的分析大为简化，而且在经典控制论范畴，直接在频域中研究系统的动态特性，对系统进行分析、综合和校正，具有很广泛的实际意义。2-1复数和复变函数1.复数的概念复数，其中、均为实数，分别称为S的实部和虚部，记做，为虚单位。两个复数相等时，必须且只须它们的实部和虚部分别相等，一个复数为零，它的实部和虚部均必须为零。2.复数的表示方法：表达复数的直角坐标系平面称为复平面或S平面。（1

2、）点表示法2—22（2）向量表示法复数S用从原点指向点（）的向量来表示。向量的长度称为复数S的模或绝对值。向量与轴（横轴）的夹角称为复数的幅角，即。（3）三角表示法：由上图可看出：，因此复数的三角表示法为：（4）指数表示法：利用欧拉公式：，复数S也可用指数表示为：3.复变函数、极点与零点的概念以复数为自变量，按某一确定法则构成的函数G(s)称为复变函数，G(s)可写成：，在线性控制系统中，通常遇到的复变函数G(s)是S的一个给定值，G(s)就唯一被确定。若有复变函数当时，,称，···，为G(s)的零点；2—22当时，，称，···，为G

3、(s)的极点。2-2拉氏变换与拉氏反变换的定义一、拉氏变换设有时间函数，，则的拉氏变换记做或，并定义为：式（2—1）式中为复数，称为原函数，为象函数。例：已知的定义域是，，求。解：二、拉氏变换的存在定理若函数满足下列条件：①在的任意有限区间上分段连续，时，。②当时，的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数，及（均为实数），使得（）成立，则的拉氏变换收敛于一确定的数值，即的拉氏变换存在。2—22例：求函数的拉氏变换。解：满足存在定理的条件①；取，当时，，故也满足条件②，所以存在。令分部积分公式：三、拉氏反变换当已知的拉氏变换，欲求原函数

4、时，称为拉氏反变换，记做，并定义为如下积分（2-2）式中为大于所求奇异点实部的实常数（奇异点即在该点不解析，也就是在该点即其邻域不处处可导）。式（2-2）是求拉氏变换的一般公式，因是一复变函数，计算式（2-2）的积分需借助复变函数中留数定理来求。通常对于简单的象函数，可直接查拉氏变换表求得原函数。对于复杂的象函数，可用部分分式法求得（后面讲述）。2-3典型时间函数的拉氏变换2—221.单位阶跃函数阶跃函数：是自动控制系统在实际工作条件下经常遇到的一种外作用形式。例如：电源电压突然跳动；负载突然增大或减小；飞机飞行中遇到的常值阵风扰动等

5、，都可视为阶跃函数形式的外作用。在控制系统的分析和设计工作中，一般将阶跃函数作用下系统的响应特性作为评估系统动态性能指标的依据。单位阶跃函数：定义为，如下图（第一类换元法，凑因子法）2.单位脉冲函数脉冲函数在现实中是不存在的，只是数学上的定义，但它却是一个重要的数学工具。例如：一个任意形式的外作用可以分解成不同时刻的一列系脉冲函数之和，这样通过研究控制系统在脉冲函数作用下的响应特性，便可了解在任意形式外作用下的响应特性。单位脉冲函数：定义为2—22在工程中常用长度等于1的有向线段表示，该线段的长度表示它的积分值，称为它的脉冲强度。且具

6、有如下特性：，为t=0时刻的函数的值。故其拉氏变换：其拉氏反变换：3.单位斜坡函数斜坡函数：在工程实践中，某些随动系统就常常工作于这种外作用下。例如：雷达—高射炮防空系统，当雷达跟踪目标已恒定速率飞行时，可视为该系统工作于斜坡函数的作用下。单位斜坡函数：定义为2—22用分部积分法：令：，，则，4.指数函数拉氏反变换：5.正弦函数由欧拉公式：2—22由①得，代入②，其拉氏反变换：正弦函数是控制系统常用的一种典型外作用，例如：舰船的消摆系统，稳定平台的随动系统等，就是处于形如正弦函数的波浪下工作的。更为重要的是，系统在正弦函数作用下的响应

7、即频率响应，是自动控制理论中研究控制系统性能的重要依据。6.余弦函数由欧拉公式：2—22其拉氏反变换：7.幂函数令,,所以式中为（伽马）函数，当n是正态数时，故其拉氏反变换：2—22例：若n=2，求，解：常用函数的拉氏变换表1123t456789102—2211122-4拉氏变换的性质1.线性性质拉氏变换是一个线性变换，若有常数,,函数,,则拉氏反变换亦是线性变换，即例：求解：2.实数域的位移定理（延时定理）若,对任一正实数,有2—72—22表明：时间函数的自变量在时间轴位移，其象函数等于的象函数乘以指数因子。例：求图所示方波的拉氏变

8、换。解：方波可表达为，因3.复数域的位移定理若，对任一常数（实数或复数），有例：求的拉氏变换解：同理2—22表明：如果函数的自变量扩大倍，则的象函数等于的象在复域上压缩倍，并乘以常数。4.相似定理若，对任一常数，有。例：