例析直角坐系中矩形变换题.doc

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1、例析直角坐标系中矩形变换题   1.平移+旋转+翻析例1如图1-①，以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，4），将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在y轴的正半轴上，旋转后的矩形为、BC、相交于点M。（1）求点的坐标与线段的长；（2）将图1-①中的矩形沿y轴向上平移，如图1-②，矩形是平移过程中的某一位置，、相交于点，点P运动到C点停止，设点P运动的距离为x，矩形与原矩形OABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如图1-③，当点P运动到点C

2、时，平移后的矩形为，请你思考如何通过图形变换使矩形与原矩形OABC重合，请简述你的做法。分析：第（1）问由勾股定理得的长，从而求出点的坐标，已知线段OC的长，继而求出线段的长。第（2）问在矩形的整个平移过程中，矩形与原矩形OABC重叠图形由四边形（当点从开始位置平移到矩形OABC的边BC上时）变为三角形（当点从矩形OABC的边BC上到运动停止时），求出对应图形在对应条件下自变量x的取值范围及重叠部分的面积。第（3）问具有开放性，可直接通过图形沿某一条直线翻折得到，或先旋转再平移得到，或先旋转再翻折得到，或先平移再旋转得到。解：（1）如图1-①，因为，所以

3、点的坐标为（0，5）。。（2）在矩形沿y轴向上平移到P点与C点重合的过程中，点运动到矩形OABC的边BC上时，求得P点移动的距离。当自变量x的取值范围为时，如图1-②，由△∽△，得，此时，，即，当自变量x的取值范围为时，求得。（3）①把矩形沿∠的角平分线所在直线对折。或②把矩形绕C点顺时针旋转，使点与点B重合，再沿y轴向下平移4个单位长度。或③把矩形绕C点顺时针旋转，使点与点B重合，再沿BC所在的直线对折。或④把矩形沿y轴向下平移4个单位长度，再绕O点顺时针旋转，使点与点A重合。点评：新课程标准下的几何内容突出了图形变换问题，使几何的基础知识贴近实际，更

4、接近生活。矩形在沿y轴向上平移的过程中，对应线段、对应角的大小始终保持不变，尤其第（3）问是学习和掌握平移、旋转、翻折的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用。 2.旋转例2如图2，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转角，得到矩形CFED。设FC与AB交于点H，且A（0，4）、C（6，0）（如图2-①）。（1）当时，△CBD的形状是_________；（2）当AH=HC时，求直线FC的解析式；（3）当时，（如图2-②），请探究：经过点D，且以B为顶点的抛物线，是否经过矩形CFED的对称中心M，并说明理由。分析：第（1）问可利用

5、旋转前后对应线段相等得出BC=CD，∠BCD=，所以△CBD为等边三角形；第（2）问中可利用勾股定理求出H点坐标，从而求出FC的解析式；第（3）问中求出M点坐标，代入解析式检验。解：（1）等边三角形。（2）设AH=x，则HB=AB-AH=6-x，依题意可得AB=OC=6，BC=OA=4。在Rt△BHC中，，即，解得，∴H（，4）。设，把H（）、C（6，0）代入得解得∴。（3）抛物线顶点为B（6，4），设，把D（10，0）代入得，∴，依题意可得，点M的坐标为（8，3），把代入，得，∴抛物线经过矩形CFED的对称中心M。点评：本题为关于旋转的综合题，综合考查

6、等边三角形的判定、直线关系式的求法，及中心对称的有关知识。矩形在绕点C的旋转过程中，线段的大小保持不变，综合性强，有一定的难度，有利于培养同学们勇于探索的良好学习习惯。 例3如图3，点O是坐标原点，点A（n，0）是x轴上一动点（）以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB=2OA，矩形AOBC绕点A逆时针旋转得矩形AGDE。过点A的直线交y轴于F点，FB=FA。抛物线过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为点M。（1）求k的值；（2）点A位置改变时，△AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由。分析：第（1

7、）问利用已知条件及勾股定理，得，又直线过点A（n，0），用中间变量n，求出k的值。第（2）问用中间变量n表示出抛物线的解析式，解直线与抛物线联列的方程组，求出点H的坐标，从而用中间变量n表示出△AMH的面积及矩形AOBC的面积，进而求出它们的比值。解：（1）根据题意得到：B（0，-2n）；当时，，∴点F的坐标为（0，m），而FB=。∵Rt△AOF中，，又FB=AF，∴，化简得：，对于过点A（n，0）∴，∴（2）∵抛物线过点E（3n，0）、点F（0，）、点G（，），∴解得：，，。∴抛物线为。解方程组：得；∴H坐标是：（5n，3n），HM=，AM=，∴，而，

8、∴，不随着点A的位置的改变而改变。点评：本题主要考查应用矩形旋转特征，解决一次函