数学培优竞赛新方法(九年级)-第7讲-转化与化归.doc

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1、第七讲转化与化归可化为一元二次方程的方程及方程组数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎•彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．【例题求解

2、】【例1】已知关于的方程有实数根，若所有的实数根的积为－2，则所有实数根的平方和为。思路点拨：将方程左边因式分解，化高次方程为低次方程。【例2】方程的解的情形是（）A、无解B、恰有一个解C、恰有两个解D、有无穷多个解思路点拨：由配方法得，即，通过讨论去掉绝对值符号。【例3】解下列方程：（1）（河南省竞赛题）（2）；（山东省竞赛题）（3）；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）（西安市竞赛题）思路点拨：按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于（1），利用倒数关系换元；对于（2），从受到启示；对于（3），设，则可导出、的结果；对于（4），视，为整体，可得到

3、、的值。【例4】解下列方程（组）：（1）、（克罗地亚奥林匹克试题）（2）（2011年《数学周报》杯全国初数学竞赛题）非等价转化【例5】若关于的方程只有一个解（相等的解也算作一个），试求的值与方程的解。分析：先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出的值。学力训练1、方程的解是。（威海市中考题）2、方程的整数解是。（天津市中考题）3、用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（）A、B、C、D、5、关于的方程的解是负数，则的取值范围是（）。A、B、且C、D、且（山西省中

4、考题）6、下列方程有实数解的是（）A、B、C、D、（潍坊市中考题）7、解方程组（2011年上海市中考题）8、解下列方程：（1）（上海市中考题）（2）（苏州市中考题）（3）（天津市中考题）（4）9、（1）求方程所有实数根的积。（日本数学奥林匹克试题）（2）解方程组（太原市竞赛题）能力拓展：10、解方程得。（“祖冲之杯”邀请赛试题）11、方程的解是。（第16届江苏省竞赛题）12、若实数、满足，则＝。（第20届江苏省竞赛题）13、若实数、、满足方程组，则（）A、B、C、D、14、如果方程的三个根可以作为一个三角形的三边长，则实数的值为（）A、3B、4

5、C、5D、6（四川省竞赛题）15、关于的方程仅有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）。A、B、C、D、（全国初中数学联赛）16、解下列方程（组）：（1）（2011年青少年数学国际城市邀请赛）（2）（3）（德国数学奥林匹克试题）（4）（太原市竞赛题）（5）（加拿大数学奥林匹克试题）17、对于实数，只有一个实数值满足等式，试求所有这样的实数的和。（第19届江苏省竞赛题）综合创新：18、已知关于、的方程组有整数解，求满足条件的质数。（四川省竞赛题）19、已知、、三数满足方程组，试求方程的根。（全国初中数学联赛题）