微积分期末试卷及答案.doc

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1、微积分期末试卷及答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、已知,,且,则         .答案:  解:,,.2、已知为常数,,则     .答案:  解:.3、已知,则     .答案:  解:4、函数的拐点数为     .答案:  解:有3个零点:,有2个零点:,,显然符号是:+,-,+,故有2个拐点.5、     .答案:  解:.二、选择题(每小题3分,共15分)答案:1、2、3、4、5、 。1、设为偶函数,为奇函数,且有意义,则是(A)偶函数;    (B)奇函数;(C)非奇非偶函数; (D)可能奇函数也可能偶函数.答案:A  2、是函数的(A)跳跃间断点;  (B

2、)连续点;(C)振荡间断点;  (D)可去间断点.答案:D  3、若函数在处不可导,则下列说法正确的是(A)在处一定不连续;    (B)在处一定不可微;(C)在处的左极限与右极限必有一个不存在; (D)在处的左导数与右导数必有一个不存在.答案:B  4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是:(A);(B);(C);(D).答案:D  5、若函数存在原函数,下列错误的等式是:(A);(B);(C);(D).答案:B  三、计算题(每小题6分,共60分)1、设,求.答案:解:令,则,  (3分)于是.(6分)2、计算.答案:解:          (3分).    

3、       (6分)3、求极限.答案:解:由于,   (3分)而,,所以.          (6分)4、求极限.答案:解:   (4分).   (6分)5、求函数的导数.答案:解:                       (2分).(6分)6、求曲线在点处的法线方程.答案:解:方程两边对求导得:,将代入得法线斜率,  (3分)从而法线方程为:,即:. (6分)7、求曲线的凹凸区间和拐点.答案:曲线在区间和是凹的,在区间是凸的.拐点为,.解:(1),(2),,(3),得,.,.(3分)(4)列表如下:+0-0+凹拐点凸拐点凹(5)曲线的拐点为、.(6)曲线在区间和是凹的,

4、在区间是凸的.(6分)8、计算.答案:解: (3分)..(6分)9、计算.答案:解:   (3分),.         (6分)10、设某商品的需求函数为,其中分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.答案:,当总收益达到最大时,价格上涨,需求则相应减少.俞诗秋解:总收益函数为,令,得,而,可见,当时,总收益达到最大. (3分)此时需求弹性,(5分)说明,当总收益达到最大时,价格上涨,需求则相应减少. (6分)四、证明题(每小题5分,共10分)1、证明方程在区间内有且只有一个实根. 证明:显然,由于,,由零点定理知,,即;       (3

5、分)又因,,知,所以方程在区间内有且只有一个实根.     (5分)2、设在闭区间连续,在开区间可导,且,证明在内必存在一点,使得.               证明:令,,显然,,且,由罗尔定理知:,,所以.

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