高等数学-初等函数.ppt

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1、第一章二、复合函数一、基本初等函数第二节初等函数三、初等函数函数的定义函数的三要素单调性奇偶性有界性幂函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数定义:函数称为幂函数,其中x是自变量,是常数.一、基本初等函数画出(1,1)的图像定义域值域奇偶性单调性定点奇函数奇函数非奇非偶偶函数奇函数增函数增函数为增函数,为减函数为增函数为减函数(1,1)幂函数的性质:所有幂函数都经过第一象限,并且都通过点(1,1),但不通过第四象限.当为奇数时,幂函数为奇函数;当为偶数时,幂函数为偶函数.当时,幂函数经过原点(0

2、,0),在为增函数.当时,在为减函数,图像向上与y轴无限地接近,向右与x轴无限地接近.当时,函数为常数函数定义:函数叫做指数函数,其中是一个大于0,且不等于1的常量,函数的定义域是R.指数函数01图象性质定义域:值域:当x=0时,y=1,即过点(0,1)在上是减函数在上是增函数当x<0时,当x>0时,当x>0时,当x<0时,求的反函数解:反函数为:的值域为,即对数函数定义域:对数函数换底公式：01图象性质(1,0)(1,0)定义域:值域:当x=1时,y=0,即过点(1,0)在上是减函

3、数在上是增函数当01时,当01时,三角函数常用公式三角函数f(x)=sinxf(x)=cosx图象定义域值域最值f(x)=0--1-1RR[1,1][1,1]时ymax=1时ymin=1时ymax=1时ymin=1f(x)=sinxf(x)=cosx图象周期性奇偶性单调性22奇函数偶函数单调增区间:单调减区间:单调增区间:单调减区间:xx0-11xy正切函数的图象定义域：值域：周期性：奇偶性：单调性：全体实数R正切函数是周期函数，正切函数在开区间内都是增函数。

4、正切函数是奇函数，正切曲线最小正周期T=关于原点0对称正切函数的性质：余切函数的图形定义域：值域：周期性：奇偶性：单调性：全体实数R余切函数是周期函数，余切函数在开区间内都是减函数。余切函数是奇函数，正切曲线最小正周期T=关于原点0对称余切函数的性质：正割函数余割函数yOxy=sinxxyOy=cosxyOy=tanxxOy=cotxxyxyOy=ArcsinxOy=Arccosxxy1Oy=Arctanxxyx1Oyy=Arccotx反三角函数反正弦函数定义域：[-1，1]值域：奇偶性：奇函数单调性：在[

5、-1，1]单调递增有界性：有界函数因为这个区间是最简单的,且每一个余弦值都对应一个角在这个区间,且是余弦函数的一个单调区间.反余弦函数定义域：[-1，1]值域：奇偶性：无单调性：在[-1，1]单调递减有界性：有界函数反正切函数定义域：值域：奇偶性：单调性：在单调递增有界性：有界函数奇函数0yx反余切函数定义域：值域：奇偶性：单调性：在单调递减有界性：有界函数无定义:注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;——复合条件二、复合函数复合条件在实际应用时常取形式内层函数的值域落在外层函数的定义域之内

6、2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.函数的运算,则我们可以定义这两个函数的设函数的定义域依次为下列运算:商和(差)积三.初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P12–P13)非初等函数举例:符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当例1是由哪些函数复合而成的.解例2分析下列复合函数的结构：⑵y=ue,vusin=,tv=,12+=xt.例3

7、设2)(xxf=,xxg2)(=,求[],)(xgf[])(xfg.解f[g(x)]=[g(x)]2=(x2)2=x4,g[f(x)]=)(2xf=22x.解设函数x换为f(x)例4.解: