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1、第2章随机过程分析本章教学基本要求：掌握：⒈平稳随机过程的定义、各态历经性、相关函数与功率谱密度⒉高斯过程的定义、性质、一维概率密度函数和分布函数⒊窄带随机过程的表达式和统计特性⒋正弦波加窄带高斯过程的统计特性⒌白噪声和带限白噪声理解：随机过程的基本概念、随机过程通过线性系统2.1基本概念与复习要点2.1.1随机过程的基本概念⒈随机过程的定义随机过程是依赖于时间参量t变化的随机变量的总体或集合，也可以叫做样本函数的总体或集合。习惯用ξ(t)表示。⒉随机过程的统计特性设ξ(t)表示一个随机过程，则在任意一个时刻t上，ξ(t)是一个随机变量。11显然，这个随机变量的统计特性
2、，可以用分布函数或概率密度函数去描述。定义：（1）随机过程ξ(t)的一维概率分布函数：F(x,t)=P[ξ(t)≤x]11111∂F(x,t)111()（2）随机过程ξ(t)的一维概率密度函数：如果存在=fx,t，则称111∂x1f()x,t为ξ(t)的一维概率密度函数111（3）随机过程ξ(t)的n维概率分布函数：F()x,x,L,x;t,t,L,t=P[ξ(t)≤x,ξ(t)≤x,Lξ(t)≤x]n12n12n1122nn（4）随机过程ξ(t)的n维概率密度函数：n()∂Fx,x,L,x;t,t,Ltn12n12n()如果存在=fx,x,L,x;t,tL,t，则称n
3、12n12n∂x∂xL∂x12nf(x,x,L,x;t,tL,t)为ξ(t)的n维概率密度函数。显然，n越大，用n维分n12n12n布函数或n维概率密度函数去描述ξ(t)的统计特性就越充分。⒊随机过程的数字特征在许多场合，除关心随机过程的n维分布外，还需要关心随机过程的数字特性，比如，随机过程的数学期望、方差及相关函数等。⑴数学期望（均值或统计平均）：+∞E[]ξ()t=∫xf(x,t)dx1−∞并记为E[]ξ()t=a(t)，表示随机过程的摆动中心，物理意义是：信号或噪声的直流功率。⑵方差：+∞[](){}()[]()2[2()]{}[]()22()[](2Dξt=E
4、ξt−Eξt=Eξt−Eξt=xfx,tdx−at)∫1−∞[()]2Dξt常记为σ(t)，表示随机过程在某时刻对其均值的偏离程度，物理意义是：信号或噪声交流功率。⑶自协方差与自相关函数衡量随机过程任意两个时刻上获得得随机变量得统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。（1）自协方差函数：B(t,t)(=E{}[]ξt)−a(t)⋅[ξ(t)−a(t)]121122+∞+∞=[]x−a()t[]x−a()tf()x,x;t,tdxdx∫∫11222121212−∞−∞式中t与t是任意的两个时刻；a(t)与a(t)为在t及t得到的数学期望。用协方121212差来判断
5、同一随机过程的两个变量是否相关。（2）自相关函数：+∞+∞R()t,t=E[]ξ(t)⋅ξ(t)=xxf()x,x;t,tdxdx1212∫∫122121212−∞−∞用自相关函数来判断广义平稳、求解随机过程的功率谱密度及平均功率。⑶自协方差与自相关函数之间的关系：B()t,t=R(t,t)(−E[]ξt)⋅E[ξ(t)]121212自协方差和自相关函数是衡量同一过程的相关程度的，对于两个或更多的随机过程，可以引入互协方差与互相关函数。2.1.2平稳随机过程⒈定义⑴狭义平稳：随机过程ξ(t)的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。即随机过程ξ(t)的n维概率密度
6、函数满足：则称ξ(t)是平稳随机过程。该平稳称为狭义平稳或严平稳。⑵广义平稳：若一个随机过程ξ(t)的数学期望及方差与时间无关，而其相关a()t=a2()2函数仅与τ有关，即σt=σR()t,t+t=R(τ)112则称ξ(t)为广义随机过程。通信系统中的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。⒉性质⑴各态历经性（遍历性）设x(t)是平稳随机过程ξ(t)的任意一个实现，若ξ(t)的数字特征（统计平均）可由x(t)的时间平均替代，即则称之为具有"各态历经性"的平稳随机过程。各态历经的随机过程一定是平稳的，而平稳的随机过程则需要满足一定
7、的条件才是各态历经的。⑵自相关函数的性质设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数R(τ)具有如下的性质：2①R()0=E[ξ(t)]=S（ξ(t)的平均功率：直流功率和交流功率）②R()τ=R(−τ)（R(τ)是偶函数）③R()τ≤R(0)(R(τ)的上界)2④R()∞=E[ξ(t)]（ξ(t)的直流功率）2⑤R()0−R(∞)=σ（方差，ξ(t)的交流功率）⑶频谱特性随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。平稳随机过程ξ(t)的功率谱密度P(ω)与其自相关函数R(τ)是一对傅里叶变换关系，即ξ+∞()()−jωτPω=Rτed
