基本不等式几大题型.doc

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1、题型1　基本不等式正用a＋b≥2例1：(1)函数f(x)＝x＋(x>0)值域为________；函数f(x)＝x＋(x∈R)值域为________；(2)函数f(x)＝x2＋的值域为________．解析：(1)∵x>0，x＋≥2＝2，∴f(x)(x>0)值域为[2，＋∞)；当x∈R时，f(x)值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；(2)x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＝0时等号成立．答案：(1)[2，＋∞)(－∞，－2]∪[2，＋∞)(2)[1，＋∞)4．(2013·镇江期中)若x>1，则x＋的最小值为________．解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，

2、即x＝3时等号成立．答案：5[例1]　(1)已知x＜0，则f(x)＝2＋＋x的最大值为________．　(1)∵x＜0，∴－x＞0，∴f(x)＝2＋＋x＝2－.∵－＋(－x)≥2＝4，当且仅当－x＝，即x＝－2时等号成立．∴f(x)＝2－≤2－4＝－2，∴f(x)的最大值为－2.例：当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．3．函数y＝(x>1)的最小值是________．解析：∵x>1，∴x－1>0.∴y＝＝＝＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．答案：2＋210．已知

3、x＞0，a为大于2x的常数，求y＝－x的最小值．解：y＝＋－≥2－＝－.当且仅当x＝时取等号．故y＝－x的最小值为－.题型2　基本不等式反用≤例：(1)函数f(x)＝x(1－x)(00,x(1－x)≤2＝，∴f(x)值域为.(2)∵00.x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤·2＝，∴f(x)值域为.答案：(1)　(2)3．(教材习题改编)已知0

4、＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．答案：3．函数y＝x的最大值为________．解析：x＝≤＝.4．已知00.∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.当x＝1－x，即x＝时取等号．10．已知x＞0，a为大于2x的常数，求函数y＝x(a－2x)的最大值；解：∵x＞0，a＞2x，∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)≤×2＝，当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.题型三：利用基本不等式求最值2．已知t>0，则函数y＝的最小值为________．答案

5、　－2解析　∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．例：当x>0时，则f(x)＝的最大值为________．解析：∵x>0，∴f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．例1：(1)求函数f(x)＝＋x(x＞3)的最小值；(2)求函数f(x)＝(x＞3)的最小值；思维突破：(1)“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值．(2)“拆项”，把函数式变为y＝M＋的形式．：(1)∵x＞3，∴x－3＞0.∴f(x)＝＋(x－3)＋3≥2＋3＝5.当且仅当＝x－3，即x＝4时取等号，∴f(x)的最小值是5.(2)令x－3＝t，则x＝t＋3，且t＞0.∴f(x)＝

6、＝t＋＋3≥2＋3＝5.当且仅当t＝，即t＝1时取等号，此时x＝4，∴当x＝4时，f(x)有最小值为5.技巧总结：当式子不具备“定值”条件时，常通过“添项”达到目的；形如y＝(a≠0，c≠0)的函数，一般可通过配凑或变量替换等价变形化为y＝t＋(p为常数)型函数，要注意t的取值范围；例：设x>－1，求函数y＝x＋＋6的最小值；解：∵x>－1，∴x＋1>0.∴y＝x＋＋6＝x＋1＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＋1＝，即x＝1时，取等号．∴当x＝1时，函数y的最小值是9.1．若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值是________．答案　81解析　由于x>0，y>0，则x＋y≥2，所以x

7、y≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，xy取到最大值81.5．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为_______________．答案　3解析　∵x>0，y>0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．6．(2013·大连期中)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．解析：∵12＝4x＋3y≥2，∴xy≤3.当且仅当即时xy取得最大值3.答案：3