基本不等式全题型.doc

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1、题型1 基本不等式正用a+b≥2例1:(1)函数f(x)=x+(x>0)值域为________;函数f(x)=x+(x∈R)值域为________;(2)函数f(x)=x2+的值域为________.解析:(1)∵x>0,x+≥2=2,∴f(x)(x>0)值域为[2,+∞);当x∈R时,f(x)值域为(-∞,-2]∪[2,+∞);(2)x2+=(x2+1)+-1≥2-1=1,当且仅当x=0时等号成立.答案:(1)[2,+∞)(-∞,-2]∪[2,+∞)(2)[1,+∞)4.(2013·镇江期中)

2、若x>1,则x+的最小值为________.解析:x+=x-1++1≥4+1=5.当且仅当x-1=,即x=3时等号成立.答案:5[例1] (1)已知x<0,则f(x)=2++x的最大值为________.(1)∵x<0,∴-x>0,∴f(x)=2++x=2-.∵-+(-x)≥2=4,当且仅当-x=,即x=-2时等号成立.∴f(x)=2-≤2-4=-2,∴f(x)的最大值为-2.例:当x>0时,则f(x)=的最大值为________.解析:(1)∵x>0,∴f(x)==≤=1,当且仅当x=,即x=

3、1时取等号.3.函数y=(x>1)的最小值是________.解析:∵x>1,∴x-1>0.∴y=====x-1++2≥2+2=2+2.当且仅当x-1=,即x=1+时,取等号.答案:2+210.已知x>0,a为大于2x的常数,求y=-x的最小值.解:y=+-≥2-=-.当且仅当x=时取等号.故y=-x的最小值为-.题型2 基本不等式反用≤例:(1)函数f(x)=x(1-x)(0

4、0,x(1-x)≤2=,∴f(x)值域为.(2)∵00.x(1-2x)=×2x(1-2x)≤·2=,∴f(x)值域为.答案:(1) (2)3.(教材习题改编)已知0

5、D.解析 ∵00.∴x(3-3x)=3x(1-x)≤32=.当x=1-x,即x=时取等号.答案 B10.已知x>0,a为大于2x的常数,求函数y=x(a-2x)的最大值;解:∵x>0,a>2x,∴y=x(a-2x)=×2x(a-2x)≤×2=,当且仅当x=时取等号,故函数的最大值为.题型三:利用基本不等式求最值2.已知t>0,则函数y=的最小值为________.解析 ∵t>0,∴y==t+-4≥2-4=-2,且在t=1时取等号.答案 -2例:当x>0时,则f(x)=的最大值

6、为________.解析:∵x>0,∴f(x)==≤=1,当且仅当x=,即x=1时取等号.例1:(1)求函数f(x)=+x(x>3)的最小值;(2)求函数f(x)=(x>3)的最小值;思维突破:(1)“添项”,可通过减3再加3,利用基本不等式后可出现定值.(2)“拆项”,把函数式变为y=M+的形式.(1)∵x>3,∴x-3>0.∴f(x)=+(x-3)+3≥2+3=5.当且仅当=x-3,即x=4时取等号,∴f(x)的最小值是5.(2)令x-3=t,则x=t+3,且t>0.∴f(x)==t++3≥

7、2+3=5.当且仅当t=,即t=1时取等号,此时x=4,∴当x=4时,f(x)有最小值为5.技巧总结:当式子不具备“定值”条件时,常通过“添项”达到目的;形如y=(a≠0,c≠0)的函数,一般可通过配凑或变量替换等价变形化为y=t+(p为常数)型函数,要注意t的取值范围;例:设x>-1,求函数y=x++6的最小值;解:∵x>-1,∴x+1>0.∴y=x++6=x+1++5≥2+5=9,当且仅当x+1=,即x=1时,取等号.∴当x=1时,函数y的最小值是9.1.若x>0,y>0,且x+y=18,则

8、xy的最大值是________.解析 由于x>0,y>0,则x+y≥2,所以xy≤2=81,当且仅当x=y=9时,xy取到最大值81.答案 815.已知x,y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为_______________.解析 ∵x>0,y>0且1=+≥2,∴xy≤3.当且仅当=时取等号.答案 36.(2013·大连期中)已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,则xy的最大值为________.解析:∵12=4x+3y≥2,∴xy≤3.当且仅当即时xy取得最大值3.答案:32.已知m>

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