基本不等式全题型.docx

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1、.题型1基本不等式正用a＋b≥2ab11..例1：(1)函数f(x)＝x＋(x>0)值域为；函数f(x)＝x＋xx(x∈R)值域为；..21..(2)函数f(x)＝x＋x2＋的值域为．1..解析：(1)∵x>0，x＋1≥2x·1＝2，∴f(x)(x>0)值域为[2，＋∞)；..xx当x∈R时，f(x)值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；212121..＋＋(2)x＋x2＋1＝(x＋1)＋x21－1≥2x＋1·x21－1＝1，当且仅当x＝0时等号成立．..答案：(1)[2，＋∞)(－∞，－2]∪[2，＋∞)(2)[1，＋∞)44．(2013·镇江期中

2、)若x>1，则x＋x－1的最小值为．444解析：x＋x－1＝x－1＋x－1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝x－1，即x＝3时等号成立．答案：54[例1](1)已知x＜0，则f(x)＝2＋x＋x的最大值为．..4(1)∵x＜0，∴－x＞0，∴f(x)＝2＋x＋x＝2－4－＋－x.∵－4＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝4，即x＝－..xx－x..2时等号成立．∴f(x)＝2－4－x＋－x≤2－4＝－2，∴f(x)的最大值为－2.....例：当x＞0时，则f(x)＝2x2x＋1的最大值为．..2x解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝2＝22≤＝1，

3、当且仅当x＝1，即x＝1时取等号．..x＋112xx＋x..2x＋23．函数y＝x－1(x>1)的最小值是．..2x＋2解析：∵x>1，∴x－1>0.∴y＝x－1＝2x－2x＋2x＋2x－1＝2x－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－....311＋x－＋2≥2x－133－1－1x＋2＝23＋2.当且仅当x－1＝x，即x＝1＋3时，取等号．答案：23＋2..110．已知x＞0，a为大于2x的常数，求y＝a－2x－x的最小值．..1a－2xa1aaa－21a..解：y＝a－2x＋2－2≥22－2＝2－2.当且

4、仅当x＝a＋b2时取等号．故y＝a－2x－x的最小值为2－2...题型2基本不等式反用ab≤21例：(1)函数f(x)＝x(1－x)(00,x(1－x)≤2＝4，∴f(x)值域为0，4.1112x＋1－2x211(2)∵00.x(1－2x)＝2×2x(1－2x)≤2·2＝8，∴f(x)值域为0，8.11答案：(1)0，4(2)0，83．(教材习题改编)已知0

5、解析：由x(3－3x)＝1×3x(3－3x)193113x＝3－3xx..3≤3×4＝4，当且仅当，即＝2时等号成立．答案：2..23.函数y＝x1－x的最大值为．22..222x＋1－x1..解析：x1－x＝x1－x≤＝.22..4.．已知00.∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x＋1－x22＝3.当x＝1－x，即x＝412时取等号．答案B..10．已知x＞0，a为大于2x的常数，求函数y＝x(a－2x)的最大值；..

6、112解：∵x＞0，a＞2x，∴y＝x(a－2x)＝2×2x(a－2x)≤×2x＋a－2x222a8＝，当且仅当x＝a4时取等号，故函数的..2a最大值为8.题型三：利用基本不等式求最值2t－4t＋1..2．已知t>0，则函数y＝2t－4t＋1t的最小值为．1..解析∵t>0，∴y＝t＝t＋t－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．答案－22x..＋例：当x>0时，则f(x)＝2x的最大值为．1..2x解析：∵x>0，∴f(x)＝2＝x＋1221≤2＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．..x＋x1x－3x＋1..2例1：(1)求函数f(

7、x)＝x－3＋x(x＞3)的最小值；(2)求函数f(x)＝x－3(x＞3)的最小值；a思维突破：(1)“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值．(2)“拆项”，把函数式变为y＝M＋M的形式．..1(1)∵x＞3，∴x－3＞0.∴f(x)＝x－3＋(x－3)＋3≥2号，∴f(x)的最小值是5.11·x－3＋3＝5.当且仅当＝x－3，即x＝4时取等x－3x－3..t＋32－3t＋3＋111..(2)令x－3＝t，则x＝t＋3，且t＞0.∴f(x)＝t＝t＋t＋3≥2t·t＋3＝5...1当且仅当t＝t，即t＝1时取等号，此时x＝4，∴当x＝4时

8、，f(x)有最小值为5...技巧总结：