群的两种等定义.doc

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1、群的两种等价定义今天我开始学习群论了，对此我感到十分的兴奋和激动，因为在我心目中近世代数的学习就是从群论开始的，然后逐步深入到环论、域论，然后更加深入的。对于群的两种等价定义，在我学习群论之前我曾在网上见到过一种。今天学习的时候，却是学习的另外一种。刚刚开始以为是不是群论的两个不同派别，但这也又令我犯糊涂了，始终认为这是不太可能的。按理说，就目前我所学到的数学知识中，还没有看到针对某一具体理论分为不同派别，即使有不同意见也会形成两种不同的理论分支，例如欧几里德几何和非欧几里德几何。而到我学习群论之前，我所了解到的群论却没有说两种不同的派别的，听到只有一个说法，那就是群。后来，随着学习

2、的深入，才知道，呵呵，原来两种定义是等价的啊。好了，废话不多说了，现在就开始对两种等价定义进行证明了。1.群的两种定义。定义1.1对于非空集合G，在G上定义一种叫做乘法的运算⊙。（⊙书写的时候可以省略，例如⊙可以写作）。如果G和⊙满足以下性质：Ⅰ.（封闭性）Ⅱ.（结合律）Ⅲ.和都有解。定义1.2对于非空集合G，在G上定义一种叫做乘法的运算⊙。（⊙书写的时候可以省略，例如⊙可以写作）。如果G和⊙满足以下性质：.（封闭性）.（结合律）..（左单位元）.（左逆元）2.等价性的证明原则上，我们要证明由①Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ、、和;②、、和Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ两步。由于定义（1）与定义（2）的前两条都是一样的，因

3、此我们只要证明①Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ和;②、、和Ⅲ即可。2.1证明Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ和证明：由Ⅲ知，对于，有解，即=.且，有解，即。一方面，；另一方面，.所以，。所以得证，且我们称为G的左单位元。，又有解，我们记它的一个解为，则有。所以得证，且我们称为的左逆元。2.2证明、、和Ⅲ引理2.2.1：，的一个左逆元也是的一个右逆元。证明：，我们设它的左逆元的左逆元为，即。则一方面，；另一方面，所以，，即也的右逆元。引理2.2.2：G的一个左单位元也是G的一个右单位元。证明：，有和（和引理2.2.1）一方面，另一方面，()所以=。即引理得证。证明Ⅲ：有解这是因为（和引理2.2.1）且有解。这是因为（和引理2.

4、2.2）也即Ⅲ得证。至此我们也就证明了定义1.1和定义1.2是等价的。下面来看一下，在我听老师的课之前的证法。3.我的证法由定义1.1推出定义1.2证法是没有什么区别的，主要是有定义1.2推出定义1.1的证明。证明：3.1证有解所以有解3.2证有解。引理3.2.1：，有证明：由3.1知，，有解，且。这是因为所以由于具有任意性，所以引理得证。引理3.2.2：，由.证明：由3.1知，，有解，且。这是因为.所以由于具有任意性，所以引理得证。由上述两个引理，不难知有解，这是因为所以有解。综上3.1和3.2知由定义1.2可以推出定义1.1。在我听课之前，我原本以为我确实是准确无误地证明了两种定

5、义是等价的，可是当我开始听课的时候，我就觉察到我的证明是出现错误的了。下面就让我们看出错在哪里了。首先，如果看一下我的证法之中，出现最频繁的式子就是3.1中，3.2.1中，3.2.2中，3.2中也就是等价式，乍一看起来这些式子好像是等价的，其实我也正是被这”乍一看”给蒙蔽了，其实在四个式子的第一步等价之中我已经犯了一个错误，就拿3.1的证明来说吧，我可以由得到，但是反过来呢，由得到呢？这就要好好考虑一下了。事实上，我们不能由得到的，因为如果按照我的用等价式证明的思想由证将会是下面这样的证明.现在，我们就不难发现其中的错误了。显然我上面的证明，用上了的这个等式，问题就出现在这里。这个式

6、子的成立我是在引理3.2.2中才得到证明的，可是这个引理的证明却用到3.1的证明结果。显然出现了循环论证，这是不正确的。另一方面，在3.1的证明中，如果我们把我所解得的结果带入原方程中得，结果我们也只能写到这一步了，因为如果我们继续写下去以验证的正确性，我们还要基于这个等式。因此，我的证明是不合理的，确切地说是错误的。4.我的感想当我在去听老师讲解证明方法的时候，当老师举出了关于n阶可逆矩阵求解AX=B的解的实例时，我们很容易得到。但此时老师并没有立即去下结论说就是AX=B的解，而是将其代入验证。这一下子，我就恍然大悟，并意识到我的证明是有问题的了。老师的验证使我一下子就想起了在初中

7、时我们求有关分式方程的时候，求出解之后我们必须对解进行验证，因为分式方程的求解很容易就会出现增根的。而对于此题，如果我在解3.1的解并代入验证的话，问题也就很明显了。所以，为此我深刻体会处理关于以前老师讲过的方程求解的一般过程：①求出解；②验证解。这个过程不仅仅是对求解分式方程如此要求的，而且是对于所有方程求解的要求，甚至是对所有存在性问题的要求。