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1、如何利用空间向量处理立体几何中的角与距离问题向量，既是高中数学新课程的一个重要标志，又极大地丰富和发展了中学数学的知识结构体系，进一步拓展了中学数学问题解决的思维空间.由于融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多种内容的媒介.用向量知识解决立体几何中的平行,垂直,距离,夹角等问题，常常比用几何法简便.空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，解探究开放式问题路子更阔.这是因为几何问题代数化后,简单的代数运算取代了复杂的几何证明，解题思路方向明确，不必为如何解（证）而煞费苦心.因此，正确理解和掌握用向量方法求角与距离的
2、问题,对高考备考有重要意义.利用向量解立体几何中垂直、夹角、距离等问题，其基本方法是：把有关线段与相应的向量联系起来，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算进行计算或证明.具体地说，有以下两种基本方法.基向量法由于空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，因此在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把有关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来.再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的.一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量.在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助
3、线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．1求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角．（１）求异面直线所成的角设、分别为异面直线a、b的方向向量,则两异面直线所成的角=（２）求线面角设是斜线l的方向向量，是平面的法向量，则斜线l与平面所成的角=（３）求二面角 法一、在内，在内，其方向如图，则二面角的平面角=法二、设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角的平面角=1求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七
4、种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求．（１）求点面距离法一、设是平面的法向量，在内取一点B,则A到的距离法二、设于O,利用和点O在内 的向量表示，可确定点O的位置，从而求出．（２）求异面直线的距离法一、找平面使且，则异面直线a、b的距离就转化为直线a到平面的距离，又转化为点A到平面的距离．法二、在a上取一点A,在b上取一点B,设、分别为异面直线a、b的方向向量,求（，），则异面直线a、b的距离（此方法移植于点面距离的求法）．例１．如图，在棱长为２的正方体中，E、F分别是棱的中点．（Ⅰ）求异面直线所成的角；
5、（II）求和面EFBD所成的角；（III）求到面EFBD的距离解：（Ⅰ）记异面直线所成的角为，则等于向量的夹角或其补角，（II）如图建立空间坐标系，则，设面的法向量为 由得 又 记和面EFBD所成的角为则 ∴和面EFBD所成的角为．（III）点到面EFBD的距离ｄ等于向量在面EFBD的法向量上的投影的绝对值，设计说明：１．作为本专题的例１，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―――正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解．２．解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作
6、法不作要求）．３．完成这３道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧．例2．如图，三棱柱中，已知ABCD是边长为1的正方形，四边形是矩形，（Ⅰ）若＝１，求直线AB到面的距离．（II）试问：当的长度为多少时，二面角的大小为解：（Ⅰ）如图建立空间坐标系，则 设面的法向量为 则 得 直线AB到面的距离ｄ就等于点Ａ到面的距离，也等于向量在面的法向量上的投影的绝对值，（II）易得面的法向量向量的夹角为由得 当＝１时，二面角的大小为．设计说明：１．通过（Ⅰ）
7、，复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投影的绝对值的解题思路与方法．２．通过（II），复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况．例３．正三棱柱的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱上任意一点．（Ⅰ）求证：直线不可能与平面垂直；（II）当时，求二面角的大小．证明：（Ⅰ）如图建立空间坐标系，设则的坐标分别为，不垂直直线不可能与平面垂直．（II），由，得即 又 是面的法向量设面的法向量为，由得,设二面角的大小为则二面角的大小为．设计说明：１．前面选择的两个题，可有
