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1、AB=AC证明RS=RT由赛瓦定理又F,AD,BE,CF,d于一点，(三点共线)（交于一点）下面证明是的外角平分线，是的角平分线，R为奈格尔点N为中角B内任意切圆与AC的切点，过p作,所以A为与的中心。M是中角A的旁切圆与BC的切点又,同理，BR=QNH为三角形ABC的重心，P为三角形ABC的九点圆的圆心，且为OH的中点。AH,AO为角A的等角线。O,H为三角形ABC的一对等角共轭点，K为弧BC的中点，O,D,K共线，设AH与OI交于点L，HO与AI交于点M，设HM=x,MP=y，则，PO=x+y设LI=k,IQ=s,则，QO=s调和四边形①是调和四边形同理，②设BE与
2、AD交于点R，，又设AB,AD与切于点E,FTE,TF,分别切于点M,N设AT与切于点，则为调和四边形为调和四边形。因为T是，的位似中心，所以MN与EF平行，M,N分别为弧AB，弧AD的中点，同理，所以,AMTN为调和四边形，所以N,M,K共线。三点共线。A,I,C共线，设弧AD的中点E以E为圆心作圆与AD相切，因为BIE共线，则EI=ED又因为CI=CD，所以CDEI为菱形，所以D,I至于EC过I,D分别作圆C的切线分别切于点X,Y。所以DY与圆O切于点D，同理可得DY与圆E相切。IX与圆E相切，因为，所以IX与AB平行。因为P是的位似中心，所以Q是弧AB的中点，X,
3、Y,I分别在RQ,SQ,PQ上，所以QR与圆O相切于点x，QS与圆O切于点Y。是弧BC的中点，且A,I,D,共线所以E与圆切于点E，与圆切于点F所以，E,,F共圆圆与圆相交。设三角形AST的内心为J所以J在三角形DST的外切圆O上，所以O为三角形AST的外切圆弧ST的中点。所以A,I,J,O四点共线。①若圆I与圆O相切，则J=D所以J在圆I上。②若圆I圆O相切，此时J在圆I内。设的中点为，则又同理，是的垂心。又因为为锐角三角形，所以A在的内部也在的内部。同理，在的内部。的垂心G与的垂心重合。所以G在内部，所以G在的内部。所以O在圆K上，设圆K与圆O交于点D（）所以弧AB
4、等于弧CD。D,Q,C,E共圆。所以ED与圆K切于点D，又所以O,P,B,E共圆，又为的角平分线。作,则H在两圆上过A作AD的垂线与圆分别交于点L,K设BL与AO交于点M1,下面证明同理，C,M,K共线。共圆同理，M,H,D,F共圆。(1)E,K关于BI对称，因为F,D关于BI对称，所以KD=EF=DL所以LK与BC平行。又过点J。（2）设AI与BC交于点G，则所以G为定点。设EF与BI,CI分别交于点X,Y，则E,F,X,Y关于I的对称点分别为M,N,P,Q所以C,I,E,X共圆，所以B,C,X,T共圆，圆心T为BC的中点，且为定点。所以XY的中垂线l过点T，则PQ的
5、中垂线。设与BC交于点T，，则TT，的中点为G，所以T，为定点。斯坦纳定理：卡诺定理若上式成立，则过D,E分别垂直于BC,CA,AB的直线交于一点。设过E,F的垂线交于点P，则交于一点E，又,所以E是的外心。因为的外心按图圆O是的九点圆，所以D为的中点，所以是HI的中垂线。为AE的中点，因为D,H关于AE对称，所以FH与圆切于点H。所以，K是对应点。因为是HF的中点，所以K是JD的中点。设的九点圆圆心为N，则N是OH的中点，圆N的半径为R/2，所以AHOO，是菱形。所以N是AO，的中点。设O关于BC的对称点为O，，是的外心。设的外心为，半径为所以，OBC是菱形。所以O，
6、关于BC对称，所以
