2015.2-3李建泉(代数)讲义

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1、2015.2-3学大伟业·石家庄(代数)1.证明对于所有正实数，均有。2.证明对于所有正整数和满足的正实数，有。3.设是正实数，且，证明。4.已知的三边长分别为，外接圆半径和内切圆半径分别为，证明。5.给定一个正整数，试求出所有的正整数，使得对于满足条件的任何一组正实数，都有下列不等式成立。6.设，且。若存在正整数，使得当时有，当时有，求证。7.设，其中是两个不同的正实数，证明对于每个实数，存在唯一的正实数，使得。8.对于每个正整数，求最大实数，使得对于所有正实数，有。109.证明对于满足的正实数，有。10.设正实数满足，证明。11.已知为正整数，为正实数，证明。12.已知正实数满足，

2、证明。13.已知实数满足，证明，并确定等号成立的条件。14.已知正实数满足，证明。15.设为正实数，证明。16.已知是正实数，证明。17.设为正实数，实数满足，证明。18.设为正实数，为的三个内角，求证。1019.设为正实数，满足，点是以原点为圆心的单位圆周上的四个点，求证。20.设均为实数，均为正实数，证明。21.求的最大值，使得对于任意满足的正实数，均有。22.设是实数，证明。23.已知，证明。24.证明对于任意正实数，有。25.设正实数满足，证明。26.已知的三边长分别为，且，证明。27.设实数满足，且，证明。28.证明对于任意正实数，有10。29.求最小的实数，使得对于所有正实

3、数，有。30.设，其中是有理数，是正整数，求所有三元数组，其中是正有理数，是正整数，使得存在无穷多个正整数，满足。31.设，求实数的集合，使得存在一个三元正实数组，满足。32.求的最大值，使得对一切正实数，且，均有。33.设正实数满足，证明。34.已知为正整数，实数，若正整数满足，求的最大值。35.设正整数满足，若，求的最大值。36.对于满足条件的任意非负实数，求的最大值。37.设是四个非负实数，且，证明10。38.已知正整数，定义集合，对于任意满足的非负实数，求的最大值（表示为关于的函数）。39.证明对于任意正整数，有；若是小于的所有素数由小到大的排列，则。40.设是由正实数组成的无

4、穷项数列，对于任意正整数，证明，其中。41.正整数数列满足，对于每个正整数，是一个正整数，且为的倍数，求证对于元素全为素数的任意一个有限集，下述不等式成立：。42.设，，。求证。43.求最大的实数，使得对于任意正实数，均有。44.求最大的实数，使得对于任意非负实数，均有。45.已知正实数满足，证明。46.已知正实数满足，证明。47.设是正实数，且，求的最大值。1048.设是实数列，且满足，要使，问有多少个不同的取值。49.设，证明对任意正整数，方程的根全是相异实根。50.设实数满足，证明。51.设，证明。52.证明对任意实数，都存在，使得对任意不超过的非负实数，都有。53.是正整数，实

5、数列和满足，，且对于任意的，，。假设对于任意实数，满足的数对的数目等于满足的数对的数目，证明对于，有。54.设正实数满足；对于每一个，，证明。55.设为非负整数，对于任意正整数，且，有，证明存在实数，使得对于所有的，有。56.求正整数，满足下述条件：存在正整数，使得数列是非常数等差数列。57.对于正整数，定义分别为10的各位数字之和与各位数字之积，证明对于每个正整数，存在正整数，满足，且对于，，其中。58.整数列满足，求证当时，为奇数。59.设整数数列满足，对于任意正整数，均有，证明若素数满足：对于某个正整数，有整除，则存在正整数，使得。60.已知非负整数满足：对于所有实数，若，，则一

6、定有，证明。61.如果实数列满足对于每一个整数，均有，则称这个实数列为凹数列，试求最大的实数，使得对于每一个非负的凹数列，均有。62.求的排列的个数，使得对于任意的整数，均有。63.设是组成的长度为的有序数组构成的集合，且每个长度为的有序数组都不包含两个相邻字母是或的情形，是组成的长度为的有序数组构成的集合，且每个长度为的有序数组都不包含三个相邻字母互不相同的情形，证明对于，有。64.在的方格表的每个格子中填上或，求填法的种数，使得任意相邻的两个格子中所填的数的乘积为，其中相邻格子是指有公共边的两个格子。65.证明对于任意正整数，有。1066.求出所有的实数，使得存在正实数满足。67.

7、设正整数，是整数，且互不相同，若，证明存在一对正整数，满足，其中。68.给定正整数，函数满足，求集合，其中为所有非负整数构成的集合，，。69.已知函数及正数，求证存在实数，使得对一切实数成立，且的值可以任意大。70.已知为正整数集，对所有正整数，函数满足。求证对于任意正整数，有；求证对于任意正整数，如果函数满足，则存在正整数，使得。71.设是定义在非负实数上且在非负实数上取值的函数，并满足对于任意非负实数，均有；；，求满足上述条件的。72.求所