李建泉暑假数学讲义.doc

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1、2014年7-8月1.已知是等腰三角形，且，在上的投影为，为内一点，且，。设直线与分别交于点，是线段上一点，是延长线上的点，且满足，，证明。2.已知非等腰的内切圆与边分别切于点，直线与的外接圆分别交于点，直线与分别交于点，直线与分别交于点，证明三线交于一点。3.已知的内切圆与边分别切于点，过点作，与交于点，直线与交于点。为边上一点，且，直线与分别交于点，其中在之间，证明。4.已知非等腰的外心、内心分别为，边的中点分别为，在边上的投影为，的外心为，线段的中点为，若三点共线，证明。5.已知四边形内接于圆，点是的延长线上一点，且与圆相切，过点作圆的切线，分别与直线交

2、于点，直线与圆的另一个交点为，证明三点共线。6.已知四边形内接于圆，和的内心分别为，和的内切圆半径分别为，且。圆与边相切，且与圆内切于点，过分别与圆相切的直线交于点，证明三点共线。7.在圆内接凸四边形中，，以为圆心的圆与相切，为的内心，证明过点，且与平行的直线与相切。8.已知圆与圆内切于点，圆在圆的内部，圆的弦与圆切于点，直线与圆的另一个交点为，圆的弦分别为圆的切线，分别为的内心，证明。59.已知为锐角的外接圆，与内切于点，且与切于点，设的内心为，的外接圆与交于两点，证明四点共圆。10.已知的内切圆与边分别切于点，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，证明的

3、内心在的内切圆的内部或的内切圆上。11.设是锐角内任意一点，关于边的对称点分别为，证明的重心在的内部。12.已知非等腰锐角的外心为，是边上一点，满足，是边上一点，满足，的外接圆为，证明关于对称的直线与相切。13.已知是的角平分线的中点，以为直径的圆与线段交于点，以为直径的圆与线段交于点，证明四点共圆。14.在非等腰中，其内切圆与边分别切于点，过点且垂直于的直线与交于点，过点且垂直于的直线与交于点，是线段的中点，证明三点共线；若为定点，为平面上满足（为给定常数）的动点，且三点不共线，直线与分别交于点，直线与分别交于点，则的中垂线恒过一个定点。15.设中，内的旁心

4、分别为，直线与的外接圆交于点，过点分别垂直于的直线交于点，为的外接圆，过点与圆相切的直线交直线于点，过点且垂直于的直线交于点，交圆于点，的外接圆与圆交于点，若在上的投影为，证明过线段的中点。16.设两个锐角三角形的六个顶点在同一个圆上，若其中一个三角形的两边中点在另一个三角形的九点圆上，证明这两个三角形的九点圆重合。17.已知锐角的外心为，分别为边的中点，，的外接圆交于两点，且在的内部，证明。518.已知是圆上一点，以为圆心的圆与圆交于两点，圆与圆外切于点，与圆内切于点，且直线过点，若直线与圆的第二个交点分别为，证明。19.已知的内切圆与边切于点，的中点为，过

5、点且垂直于的直线与分别交于点，过点且垂直于的直线与分别交于点，证明。20.设四边形有内切圆，对角线交于点，若线段的中点共线，证明。21.在中，已知过点且与边切于点的圆为，过点且与边切于点的圆为，圆与圆的另一个交点为，直线与的外接圆的另一个交点为，证明是线段的中点。22.已知四边形的对角线交于点，点分别在边上，使得，若分别为的外接圆的切线，证明。23.已知的边上的点满足平分，，的中垂线与以和为直径，且在的外部的半圆分别交于点，证明四边形为圆内接四边形。24.在中，内的旁切圆与射线分别切于点，内的旁切圆与射线分别切于点，点在直线上的投影分别为，证明四点共圆。25.

6、已知为锐角三角形，为边上的高线，为中内的旁心，为中内的旁心，若的内切圆与边切于点，证明四点共圆。26.已知两个半径不等的圆外离，的一条内公切线与两条外公切线分别交于点，过点且与均外切的的圆与的第二个交点为，过点且与均外切的圆与的第二个交点为，证明四点共圆。527.已知凸四边形的对角线交于点，且。若是线段上一点，且满足，证明四点共圆。28.在中，，其外接圆为，以为半径的圆与边交于点，与交于点，直线与交于点，直线与分别交于点，直线交于点，证明四点共圆，且五点共圆。29.设为锐角的外心，的延长线分别与交于点，若∽，证明是正三角形。30.已知是直角的斜边内一点，满足，

7、为的外心，的延长线交于点，过点作的垂线，与的延长线交于点，若四点共圆，证明四边形是正方形。31.已知的内切圆与边分别切于点，是该内切圆的直径，直线交于点，证明。32.在等腰中，已知顶角，的外心和垂心分别为，点分别在边上，且四边形是菱形，求（用表示）。33.在圆内接六边形中，已知，。设直线分别与交于点，且在点的同侧，点在另一侧，若的中点为，的内心分别为，证明。34.已知的内切圆圆与边分别切于点，一条过点的直线与弧（不含点）交于点，圆在点处的切线与直线交于点，过点且平行于的直线与交于点，证明。35.在锐角中，，已知于点，于点，过点的圆与边切于点，若，证明。36.在

8、凸四边形中，对角线交于点，证明过点的直