1999考研数四真题及解析.doc

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1、1999年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。)(1)设函数(,)，则(2)设，其中是由确定的隐函数，则(3)设，而为整数，则(4)已知,其中，则(5)设随机变量服从参数为的泊松(Poisson)分布，且已知，则二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)(1)设是连续函数，是原函数，则()(A)当是奇函数时，必是偶函数。(B)

2、当是偶函数时，必是奇函数。(C)当是周期函数时，必是周期函数。(D)当是单调增函数时，必是单调增函数。(2)设连续，且，其中是由所围成的区域，则等于()(A)(B)(C)(D)(3)设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)线性表示，记向量组(Ⅱ)，则()(A)不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示。(B)不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示。(C)可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示。(D)可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示。(4)设随机变量和的方差存在且不等于，则是

3、和()(A)不相关的充分条件，但不是必要条件。(B)独立的充分条件，但不是必要条件。(C)不相关的充分必要条件。(D)独立的充分必要条件。(5)设随机变量X服从指数分布，则随机变量的分布函数()(A)是连续函数。(B)至少有两个间断点。(C)是阶梯函数。(D)恰好有一个间断点。三、(本题满分6分)曲线的切线与轴，轴围成一个图形，记切点的横坐标为。试求切线方程和这个图形的面积。当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？四、(本题满分7分)计算二重积分，其中是由直线以及曲线所围成的平面区域。五、

4、(本题满分6分)设生产某种产品必须投入两种要素，和分别为两要素的投入量，为产出量；若生产函数，其中为正常数，且。假设两种要素得价格分别为和，试问：当生产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小。六、(本题满分6分)设为的原函数，且当时，。已知，，求。七、(本题满分6分)已知连续，，求的值。八、(本题满分6分)证明：当时，有。九、(本题满分7分)设矩阵。问当为何值时，存在可逆矩阵，使得为对角矩阵？并求出和相应的对角阵。十、(本题满分9分)已知线性方程组(1)满足何种关系时，方程组仅有零解

5、？(2)满足何种关系时，方程组有无穷多解，并用基础解系表示全部解。十一、(本题满分9分)设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，试求边长为和的矩形面积的概率密度。十二、(本题满分8分)已知随机变量和的概率分布而且。(1)求和的联合分布；(2)问和是否独立？为什么？1999年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(1)【答案】【详解】把代入原式得(2)【答案】1【详解】函数两边对求偏导得，隐函数两边对求偏导得，解得，以点代入，得所以(3)【答案】【详解】，根据矩阵的乘法，以及数与矩阵相乘，矩阵的

6、每一个元素都要乘以该数，有故有或由，式子左右两端同右乘，得，即，得或由，式子左右两端同右乘，得，式子左右两端再同乘，得，…，依次类推，得所以(4)【答案】【详解】由题设条件，得，即，因为故是可逆矩阵，左乘，得，根据可逆的定义，知可逆，且.右乘，得，根据可逆的定义，知可逆.故均可逆，且先利用初等行变换求：利用初等行变换把化为单位矩阵的同时，单位矩阵经过相同的初等行变换化成了所以故(矩阵的乘法)(5)【答案】【定义性质】方差的定义：；期望的性质：(其中为常数)；(其中为常数)【详解】若服从参数为的泊松

7、(Poisson)分布，则期望，方差；则因为服从参数为的泊松(Poisson)分布，所以所以所以由已知得解得二、选择题(1)【答案】(A)【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.的原函数可以表示为于是当为奇函数时，，从而有即F(x)为偶函数.故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：是偶函数，但其原函数不是奇函数，可排除(B)；是周期函数，但其原函数不是周期函数，可排除(C)；在区间内是单调增函数，但其原函数在区间内非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】(C)【

8、详解】因为为一确定的数，不妨设，则，所以，解之得，所以，故应选(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：可由向量组线性表示，即存在常数使得(*)不能由线性表出，从而知(若，则，这和不能由线性表出矛盾.)(*)可变为，上式两端同除能由()线性表示，排除(A)(D).不能由线性表示，若能，即存在常数使得，代入(*)得这和不能由线性表出矛盾，排除(C).故应选(B).方法2：若取，则，即可由线性表出.假设存在常数，满足因为，即方程组的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，故方程组无解，即不存