1999考研数三真题及解析

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1、1999年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。)(1)设有一个原函数，则(2)(3)设，而为整数，则(4)在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布.若以表示次称量结果的算术平均值，则为使，的最小值应不小于自然数(5)设随机变量独立同分布，，则行列式的数学期望二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)(1)设是连续函数，是的原函数，则()(A)当是奇

2、函数时，必是偶函数。(B)当是偶函数时，必是奇函数。(C)当是周期函数时，必是周期函数。(D)当是单调增函数时，必是单调增函数。(2)设连续，且，其中是由所围成的区域，则等于()20(A)(B)(C)(D)(3)设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)线性表示，记向量组(Ⅱ)，则()(A)不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示。(B)不能由(I)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示。(C)可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示。(D)可由(I)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示。(4)设为阶矩阵，且与相似，为阶单位矩阵，则()(A)(

3、B)与有相同的特征值和特征向量.(C)与都相似于一个对角矩阵.(D)对任意常数，与相似.(5)设随机变量，且满足，则等于()(A)0.(B).(C).(D)1.三、(本题满分6分)曲线的切线与轴和轴围成一个图形，记切点的横坐标为，试求切线方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变换趋势如何？四、(本题满分7分)计算二重积分，其中是由直线以及曲线所围成的平面区域。五、(本题满分6分)设生产某种产品必须投入两种要素，和分别为两要素的投入量，为产出量；若生产函数为，其中为正常数，且.假设两种要素的价格分别为和，试问：当产出量为12

4、时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？六、(本题满分6分)设有微分方程，其中20试求:在内的连续函数，使之在和内都满足所给方程，且满足条件.七、(本题满分6分)设函数连续，且.已知，求的值.八、(本题满分7分)设函数在区间上连续，在内可导，且.试证：(1)存在，使；(2)对任意实数，必存在，使得.九、(本题满分9分)设矩阵，且.又设的伴随矩阵有特征值，属于的特征向量为，求及的值.十、(本题满分7分)设为实矩阵，为阶单位矩阵.已知矩阵，试证：当时，矩阵为正定矩阵.十一、(本题满分9分)假设二维随机变量在矩形上服从均匀分布.记，(1)求和

5、的联合分布；(2)求和的相关系数.十二、(本题满分7分)设是来自正态总体的简单随机样本，，，，，证明统计量服从自由度为2的分布.201999年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】由题设可知.由分部积分法，得(2)【答案】4【详解】考虑幂级数，由可知，该幂级数的收敛半径为1，收敛区间为，则.记，两边从到积分，得所以所以(3)【答案】【详解】，根据矩阵的乘法，以及数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都要乘以该数，有故有20或由，式子左右两端同右乘，得，即，得或由，式子左右两端同右乘，得，式子左右两端再同乘，得，…，

6、依次类推，得所以(4)【答案】【概念和性质】(1)独立正态随机变量的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布；(2)期望的性质：，(其中为常数)；(3)方差的性质:；若独立，则(4)正态分布标准化：若，则【详解】由题知：，，且相互独立，故，其中，所以所以，标准化得则只需将中大括号里的不等式两端同除以标准差，即有：20因，查标准正态分布表知所以，解得.因为整数，所以最小为16.(5)【答案】【概念和性质】(1)；(2)若独立，则有【详解】由行列式的定义知，行列式是由个元素的乘积组成的项和式，每一项都是个元素的乘积，这个元素取自

7、行列式中不同行和不同列，在这全部项中每项都带有正号或负号.由于随机变量独立，所以有所以前面无论取正号或者负号，对和式的期望等于各项期望之和.即有而同分布，且所以(行列式的性质：若行列式两行(列)成比例，则行列式为0).二、选择题(1)【答案】(A)【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.的原函数可以表示为于是当为奇函数时，，从而有20即F(x)为偶函数.故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：是偶函数，但其原函数不是奇函数，可排除(B)；是周期函数，但其原函数不是周期函数，可排除(C)；在区间内是单调增函数

8、，但其原函数在区间内非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】(C)【详解】因为为一确定的数，不妨设，则，所以，解之得，所以，故应选(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：可