1999考研数二真题与解析

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1、1999年全国硕士研究生入学统一考试数二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。)(1)曲线，在点处的法线方程为(2)设函数由方程确定，则(3)(4)函数在区间上的平均值为(5)微分方程的通解为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)(1)设，其中是有界函数，则在处()(A)极限不存在.(B)极限存在，但不连续.(C)连续，但不可导.(D)可导.(2)设，则当时是的()(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小(3)设是连

2、续函数，是的原函数，则()(A)当是奇函数时，必是偶函数.(B)当是偶函数时，必是奇函数.(C)当是周期函数时，必是周期函数.(D)当是单调增函数时，必是单调增函数.(4)“对任意给定的，总存在正整数，当时，恒有”是数列收敛于的()(A)充分条件但非必要条件.(B)必要条件但非充分条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分条件又非必要条件.(5)记行列式为，则方程的根的个数为()(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.三、(本题满分5分)求.四、(本题满分6分)计算.五、(本题满分7分)求初值问题的解.六、(本题满分7分)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口见图，

3、已知井深30m,抓斗自重,缆绳每米重，抓斗抓起的污泥重，提升速度为,在提升过程中，污泥以的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？(说明：①其中分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)七、(本题满分8分)已知函数，求(1)函数的增减区间及极值；(2)函数图形的凹凸区间及拐点(3)函数图形的渐近线.八、(本题满分8分)设函数在闭区间上具有三阶连续导数，且，，，证明：在开区间内至少存在一点，使.九、(本题满分9分)设函数二阶可导，且，.过曲线上任意一点作该曲线的切线及轴的垂线，上述两直线与轴所围成的三角形的面积记

4、为，区间上以为曲边的曲边梯形面积记为，并设恒为1，求此曲线的方程.十、(本题满分6分)设是区间上单调减少且非负的连续函数，，证明数列的极限存在.十一、(本题满分8分)设矩阵，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求矩阵.十二、(本题满分5分)设向量组，，，(1)为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量用线性表出；(2)为何值时，该向量组线性相关？并此时求出它的秩和一个极大线性无关组.1999年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解析一、填空题(1)【答案】【详解】点对应，则曲线在点的切线斜率为，把代入得，所以改点处法线斜率为，故所求法线方程为.(2)【答案】1【详解】是有方程所确定，所以当时，

5、.对方程两边非别对求导，得，把和代入得(3)【答案】【详解】通过变换，将积分转化为常见积分，即(4)【答案】【详解】按照平均值的定义有，作变换令，则，所以(5)【答案】其中为任意常数.【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【详解】原方程对应齐次方程的特征方程为：解得，故的通解为由于非齐次项为因此原方程的特解可设为代入原方程可求得，故所求通解为二、选择题(1)【答案】(D)【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.因为从而，存在，且，故正确选项为(D).(2)【答案】(C)【详解】当有，所以当时是同阶但不等价的无穷小.(3)【答案】(A)【详解

6、】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.的原函数可以表示为于是当为奇函数时，，从而有即F(x)为偶函数.故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：是偶函数，但其原函数不是奇函数，可排除(B)；是周期函数，但其原函数不是周期函数，可排除(C)；在区间内是单调增函数，但其原函数在区间内非单调增函数，可排除(D).(4)【答案】(C)【详解】【方法1】“必要性”：数列极限的定义“对于任意给定的，存在，使得当时恒有”.由该定义可以直接推出题中所述，即必要性；“充分性”：对于任意给定的，取，这时，由已知，对于此存在，使得当时，恒有，现取，于是有当时，恒有.这证明了数列

7、收敛于.故(C)是正确的.【方法2】数列极限的精确定义是：对于任意给定的，总存在，使得当时，则称数列收敛于.这里要抓住的关键是要能够任意小，才能使任意小.将本题的说法改成：对任意，总存在，使得当时，有，则称数列收敛于.由于可以任意小，所以能够任意小.故两个说法是等价的.(5)【答案】(B)【详解】利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别.(若均为阶方阵，则)故有两个根，故应选(B).三【详解】进行等价变化，然后应用洛必达法则，【方法1】【方法