1999考研数一真题及解析

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1、Borntowin1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。)(1)(2)(3)的通解为(4)设n阶矩阵A的元素全为1，则A的个特征值是(5)设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件：则二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)(1)设是连续函数，是的原函数，则()(A)当是奇函数时，必是偶函数。(B)当是偶函数时，必是奇函数。(C)当是周期函数时，必是周期函数。(D)当是单调增函数时，必是单调增函

2、数。(2)设其中是有界函数，则在处()(A)极限不存在(B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导(D)可导(3)设其中则等于()(A)(B)(C)(D)(4)设A是矩阵，B是矩阵，则(A)当时，必有行列式(B)当时，必有行列式(C)当时，必有行列式(D)当时，必有行列式17Borntowin(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N和N，则(A)(B)(C)(D)三、(本题满分5分)设，是由方程和=0所确定的函数，其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求。四、(本题满分5分)求其中a,b为正常数，L为从点A沿曲线到点O的弧.五、(本题满分6分)设函数二阶

3、可导，且，.过曲线上任意一点作该曲线的切线及轴的垂线，上述两直线与轴所围成的三角形的面积记为，区间上以为曲边的曲边梯形面积记为，并设恒为1，求此曲线的方程.六、(本题满分6分)试证：当时，七、(本题满分6分)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口见图，已知井深30m,抓斗自重,缆绳每米重，抓斗抓起的污泥重，提升速度为,在提升过程中，污泥以的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？(说明：①其中分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设S为椭球面的上半部分，点P

4、∈S,π为S在点P处的切平面，为点O到平面π的距离，求九、(本题满分7分)17Borntowin设(1)求的值；(2)试证：对任意的常数λ>0,级数收敛十、(本题满分8分)设矩阵其行列式又A的伴随矩阵有一个特征值，属于的一个特征向量为求和的值.十一、(本题满分6分)设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，为B的转置矩阵，试证：为正定矩阵的充分必要条件是B的秩.十二、(本题满分8分)设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.YX1十三、(本题满分6分)设总体X的概率密度为是取自总体X

5、的简单随机样本.(1)求θ的矩估计量(2)求的方差17Borntowin1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分.把正确答案填写在题中横线上.)(1)【答案】【分析】利用的等价变换和洛必达法则求函数极限.【详解】方法1：方法2：(2)【答案】【分析】欲求，唯一的办法是作变换，使含有中的“转移”到之外【详解】令，则，所以有(3)【答案】其中为任意常数.【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【详解】原方程对应齐次方程的特征方程为：解得，故的通解为由于非齐次项为因此原方程的特解可设为代入原方程可求得，

6、故所求通解为(4)【详解】因为17Borntowin(对应元素相减)两边取行列式，令，得，故矩阵A的n个特征值是n和0(重)(5)【答案】【详解】根据加法公式有因为，设由于两两相互独立，所以有，，，又由于，因此有所以　　　　　　又，从而，则有，解得17Borntowin因，故，即二、选择题(1)【答案】(A)【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.的原函数可以表示为于是当为奇函数时，，从而有即F(x)为偶函数.故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：是偶函数，但其原函数不是奇函数，可排除(B)；是周期函数，但其原函数不是周期函数，可排除(C

7、)；在区间内是单调增函数，但其原函数在区间内非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】(D)【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.因为从而，存在，且，故正确选项为(D).(3)【答案】(C)【详解】由题设知，应先将从[0,1)作偶延拓，使之成为区间[−1,1]上的偶函数，然后再作周期(周期2)延拓，进一步展开为傅里叶级数，17Borntowin而是的间断点，按狄利克雷定理有，(4)【答案】B【详解】方法1：是矩阵，是矩阵，则是阶方阵，因.当时，有.(的系数矩阵的秩小于未知数的个数)，故有行