量子计算和量子信息(量子计算部分,Nielsen等着)4(大部分).doc

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1、

2、->

3、+>

4、1>-

5、i>

6、i>

7、0>yzx4.14.2证明过程需要用到如下三个泰勒级数展开式：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+Rn(x）sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+Rn(x)(-∞

8、n次方也就是矩阵iAx相乘n次。exp(iAx)=I+iAx-A^2x^2/2!-iA^3x^3/3!+A^4x^4/4!+......+(iAx)^n/n!+......=I+iAx-Ix^2/2!-iA^3x^3/3!+Ix^4/4!+......(注意到A^2=I)再结合sinx和cosx的泰勒级数展开式，就可以发现，cos(x)I=I-Ix^2/2!+Ix^4/4!-...isin(x)A=iAx-iA^3x^3/3!+iA^5x^5/5!-......所以就有exp(iAx)=cos(x)I+isin(x)A4.34.4H=(X+Z)/2=ex

9、p(i所以H=exp(i4.5X^2=Y^2=Z^2=I并且paili矩阵相互反对易，展开化简即得4.74.17HZH4.18左边线路的作用：

10、00>à

11、00>

12、01>à

13、01>

14、10>à

15、10>

16、11>à-

17、11>右边线路的作用：

18、00>à

19、00>

20、01>à

21、01>

22、10>à

23、10>

24、11>à-

25、11>所以等价4.19=4.20左边=(HH)(

26、0><0

27、I+

28、1><1

29、X)(HH)==右边4.21直接输入8个状态进行验证即可4.22设V^2=U,而V=e^(iα)AXBXC,=e^(-iα)可以无限穿越节点，但不能穿越XABBC4.23U=不能减少U

30、=能4.24控制比特：

31、00>:第一比特位T

32、0>=

33、0>第二比特位S=S=S=I第三比特位HTTH=I

34、01>:第一比特位T

35、0>=

36、0>第二比特位S=S=S=I第三比特位HTTH=I

37、10>:第一比特位T

38、1>=e^(iπ/4)

39、1>第二比特位S=S,S

40、0>=

41、0>第三比特位HTTH=I,e^(iπ/4)

42、1>

43、0>=

44、10>

45、11>:第一比特位T

46、1>=e^(iπ/4)

47、1>第二比特位S=S,S

48、1>=

49、1>第三比特位HTTH=e^(-iπ/2)HZH=e^(-iπ/2)Xe^(iπ/4)

50、1>

51、1>=e^(iπ/2)

52、11>4.25(1)第三比

53、特是控制位(2)第三比特是控制位或第一比特是控制位4.26直接输入8个状态进行验证即可（验算后没相位因子？）4.27构造如图：4.32=

54、i>

55、

56、0><0

57、+

58、i>

59、

60、1><1

61、=Σ

62、i>

63、

64、m>

65、tr()=Σ

66、i>

67、tr(

68、m>

69、)=Σ

70、i>

71、4.33产生Bell态的线路为HHH而线路与恒等算子I完成的效果一样因而最后测量的是初始输入的计算基4.36X1X2Y1Y24.37U=I按照书上的步骤计算即可4.394.40E(U,V)===U=cos(α/2)-isin(α/2)*σV=cos((α+β)/2)-isin((α+β

72、)/2)*σ==E(U,V)==

73、1-exp(iβ/2)

74、4.41(S为相位门)输入

75、00>输出是

76、00>(3/4S

77、+1/4XSX

78、)+(

79、01>+

80、10>

81、11>(1/4)(S

82、XSX

83、)（3/4）^2+(1/4)^2=5/8所以以5/8的概率得到

84、00>3/4S+1/4XSX=(1/4)=exp(-i而(3+i)4.47利用练习2.54A，B对易，则exp(A)*exp(B)=exp(A+B)4.49左边对e^[(A+B)△t]泰勒展开到O(△t^3)即可右边对e^（A△t），e^（B△t）泰勒展开到O(△t^3)e^{-0.5[A,B]△t^2}

85、泰勒展开到O(△t^4)右边再合并化简即可与左边相同4.50(1)每项e^[-i△t]泰勒展开到O(△t^2)即可(2)E(,e^(-2miH△t)≤=m

86、

87、

88、φ>

89、

90、=m

91、

92、O(△t^3)

93、φ>

94、

95、=ma△t^34.51再用式4.113即可