15、x-5
16、+
17、x+3
18、≥
19、(x-5)-(x+3)
20、=8>6,所以原不等式的解集为R.3.因为原不等式可化为或解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是. 解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(2)当
21、不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.考点二 绝对值不等式性质的应用 【典例】(2020·重庆模拟)已知函数f(x)=
22、2x+1
23、.(1)解不等式f(x)>x+5.(2)若对于任意x,y∈R,有
24、x-3y-1
25、<,
26、2y+1
27、<,求证f(x)<1.【解题导思】联想解题(1)去绝对值,解不等式(2)利用转化化归思想,用x-3y-1和2y+1表示2x+1【解析】(1)f(x)>x+5⇒
28、2x+1
29、>x+5⇒2x+1>x+5或2x+1<-x-5,所以解集为{x
30、x>4或x<-2}.(2)f(x)=
31、2
32、x+1
33、=
34、2x-6y-2+6y+3
35、≤2
36、x-3y-1
37、+3
38、2y+1
39、<+=1. 利用不等式
40、a+b
41、≤
42、a
43、+
44、b
45、(a,b∈R)和
46、a-b
47、≤
48、a-c
49、+
50、c-b
51、(a,b∈R),通过确定适当的a,b,利用整体思想或使函数、不等式中不含变量,可以求最值或证明不等式.1.若对于实数x,y有
52、1-x
53、≤2,
54、y+1
55、≤1,求
56、2x+3y+1
57、的最大值.【解析】因为
58、2x+3y+1
59、=
60、2(x-1)+3(y+1)
61、≤2
62、x-1
63、+3
64、y+1
65、≤7,所以
66、2x+3y+1
67、的最大值为7.2.若a≥2,x∈R,求证:
68、x-1+a
69、+
70、x-a
71、≥3.【证明】因为
72、x-1+a
73、+
74、x-
75、a
76、≥
77、(x-1+a)-(x-a)
78、=
79、2a-1
80、,又a≥2,故
81、2a-1
82、≥3,所以
83、x-1+a
84、+
85、x-a
86、≥3成立.考点三 绝对值不等式的综合应用 命题精解读1.考什么:(1)考查解不等式、求参数、图像、恒成立及存在性等问题(2)考查学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养和数形结合、转化化归、分类讨论等数学思想方法2.怎么考:与函数、方程、图像等结合考查关于绝对值不等式的问题3.新趋势:以绝对值不等式为载体,与其他知识相结合,考查学生对知识的灵活运用学霸好方法求参数问题的解题思路(1)参数在绝对值内时,分类讨论,解不等式(2)参数在绝对值外时,结合图像,最值等问题,
87、利用数形结合、分类讨论、恒成立、存在性等方法解决含有参数的绝对值不等式问题【典例】已知f(x)=
88、x+1
89、-
90、ax-1
91、.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集.(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=
92、x+1
93、-
94、x-1
95、,即f(x)=故不等式f(x)>1的解集为.(2)当x∈(0,1)时
96、x+1
97、-
98、ax-1
99、>x成立,等价于当x∈(0,1)时
100、ax-1
101、<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时
102、ax-1
103、≥1,不满足题意;若a>0,则
104、ax-1
105、<1的解集为,所以≥1,故0106、,2].函数图像与绝对值不等式【典例】(2018·全国卷Ⅲ)设函数f=+.(1)画出y=f的图像; (2)当x∈时,f≤ax+b,求a+b的最小值. 【解析】(1)f(x)=y=f(x)的图像如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立,因此a+b的最小值为5.恒成立和存在性问题【典例】(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=5-
107、x+a
108、-
109、x-2
110、.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集.(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.【解析】(1)当
111、a=1时,f(x)=可得f(x)≥0的解集为{x
112、-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于
113、x+a
114、+
115、x-2
116、≥4.而
117、x+a
118、+
119、x-2
120、≥
121、a+2
122、,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于
123、a+2
124、≥4.由
125、a+2
126、≥4可得a≤-6或a≥2,所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
