2021版高考数学一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积及平面向量的应用练习理北师大版.doc

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1、5.3平面向量的数量积及平面向量的应用核心考点·精准研析考点一　平面向量的数量积的基本概念及运算 1.(2018·全国卷II)已知向量a,b满足

2、a

3、=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)A.4B.3C.2D.0【解析】选B.因为

4、a

5、=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.2.(2019·皖南八校联考)已知

6、a

7、=

8、b

9、=1,向量a与b的夹角为45°,则(a+2b)·a=　　　. 【解析】因为

10、a

11、=

12、b

13、=1,向量a与b的夹角为45°,所以(

14、a+2b)·a=a2+2a·b=

15、a

16、2+2

17、a

18、·

19、b

20、cos45°=1+.答案:1+【一题多解】坐标法解T2,因为

21、a

22、=

23、b

24、=1,向量a与b的夹角为45°,可设a=,b=(1,0),则a+2b=,(a+2b)·a=×+=1+.答案:1+3.(2020·合肥模拟)已知平面向量a,b满足

25、a

26、=1,

27、b

28、=2,

29、a+b

30、=,则a在b方向上的射影等于　　　. 【解析】因为

31、a

32、=1,

33、b

34、=2,

35、a+b

36、=,所以(a+b)2=

37、a

38、2+

39、b

40、2+2a·b=5+2a·b=3,所以a·b=-1,所

41、以a在b方向上的射影为=-.答案:-　平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=

42、a

43、

44、b

45、cos.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)对于数量积与线性运算的综合问题,可先运用数量积的运算律,几何意义等化简,再运算.考点二　平面向量的数量积在几何中的应用 【典例】1.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ

46、的值为　　　. 2.已知O,N,P在△ABC所在平面内,且

47、

48、=

49、

50、=

51、

52、,++=0,且·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的(　　)A.重心　外心　垂心B.重心　外心　内心C.外心　重心　垂心D.外心　重心　内心(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心)【解题导思】序号联想解题1看到“·=-4”,想到和分别用,来表示2看到三个题设条件,想到△ABC的“三心”【解析】1.·=3×2×cos60°=3,=+,则·=·(λ-)=×3+×4-×9-×3=-4⇔λ=.答案:2.选C.由

53、

54、

55、=

56、

57、=

58、

59、知,O为△ABC的外心;由++=0知,N为△ABC的重心;因为·=·,所以(-)·=0,所以·=0,所以⊥,即CA⊥PB,同理AP⊥BC,CP⊥AB,所以P为△ABC的垂心.1.平面向量中数量积的三种求法(1)利用定义求解.(2)利用向量的坐标运算求解.(3)利用向量数量积的几何意义求解.2.向量的数量积在平面几何应用中的解题策略(1)利用运算律结合图形先化简再运算.(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).【拓展】三角形四心的向量表示在三角形ABC中,点O为平

60、面内一点,若满足:(1)++=0,则点O为三角形的重心.(2)

61、

62、=

63、

64、=

65、

66、,则点O为三角形的外心.(3)·=·=·,则点O为三角形的垂心.(4)

67、

68、·+

69、

70、·+

71、

72、·=0,则点O为三角形的内心.1.(2020·济宁模拟)平面四边形ABCD中,+=0,(-)·=0,则四边形ABCD是(　　)A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形【解析】选C.因为+=0,所以=-=,所以四边形ABCD是平行四边形.又(-)·=·=0,所以四边形对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.2.已知A,B,C是平面上不共

73、线的三点,O为坐标原点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)·],λ∈R,则点P的轨迹一定经过(　　)A.△ABC的内心B.△ABC的垂心C.△ABC的重心D.AB边的中点【解析】选C.取AB的中点D,则2=+,因为=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],所以=[2(1-λ)+(1+2λ)]=+,又+=1,所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.考点三　平面向量数量积的综合应用 命题精解读1.考什么:(1)平面向量的模,平面向量的夹角,平行、垂直问题;(2

74、)考查数学运算等核心素养,以及数形结合,转化与化归的思想.2.怎么考:与平面向量基本定理,坐标运算,平面几何结合考查求模,夹角,夹角余弦值,参数等等.学霸好方法1.在求向量的模时,一定要注意公式

75、a

76、=的应用,即将向量的长度(或模)转化为向量数量积.2.求两个向量的夹角,常常利用两个向量夹角的余弦公式,求其夹角的余弦,然后利用余弦函数的单调性求角.3.解决关于平面向量的平行与垂直问题,其关键是充分利用平行与垂直的充要条件,得出一个等式,然后求解.平面向量的模【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)已知