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1、凸显函数认知线索，有效提升思维能力舟山南海实验初中执教:张宏政点评:郑伟君1引言2009年10月23—24日,由浙江教育学院与省名师名校长工作站举办的“智慧课堂-2009西湖之秋”初中数学名师教学峰会在教育学院小礼堂如期举行.期间,笔者作为省首届初中数学高端班的学员应邀执教了一节“二次函数复习课”,受到了与会700多名听课老师的一致好评.鉴于此,现将课堂教学实录与自己对教学设计的思考过程整理如下,供各位同仁参考.2课堂教学实录2.1情境引入,凸显认知线索师:……,右图是舟山五座跨海大桥之一的西堠门大桥,同学
2、们请看,大桥主悬索的形状像什么?生(齐答):抛物线.师:一看到抛物线,你就会想到什么?生(齐答):二次函数.Oxy图1-114师:这就说明,一来二次函数在生活中有广泛的应用,二来同学们在学习数学中常会把数与形结合起来.对于数形结合,著名数学家华罗庚曾精辟地说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,两者结合万般好,隔离分家万事休.”下面就让我们从二次函数的图像入手进入到今天的学习活动之中！2.2读图识图,有效梳理知识例1如图1是抛物线的图像,请尽可能多地说出一些结论.生1:开口向下,故＜0;对称轴是直线=-1,
3、顶点坐标为(-1,4).生2:顶点坐标是图像的最高点,故当=-1时,有最大值是4,同时＜0,而＜0,所以＜0.生3:把代入得,还有抛物线是轴对称图形,所以它与轴的另一点交点坐标为(-3,0);与轴交点在轴的正半轴,故＞0.师:那么点(-3,0)与(1,0)的实际意义是什么?生3:就是当时,方程的解为=-3或1.生4:我从图像观察出,当-3＜＜1时,＞0;当＜-3或＞1时,＜0.师:也就是说,不等式＞0的解为-3＜＜1;＜0的解为＜-3或＞1.以上说明,方程、不等式与函数之间有着密切的关系.好!同学们还能得到
4、什么结论?生5:我能求出函数解析式.设,把(1,0)点代入,得,所以.这样还可得=3.师:你还有别的求解方法吗?生5:把(-3,0),(1,0),(-1,4)都代入到,列方程组求出生6:也可设,再把(-1,4)代入求解.师:还有结论吗?譬如函数的变化规律.生7:当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减少.……师:刚才我们通过研究一个具体的函数图像得出了二次函数的一些性质.归纳起来,主要有以下几点:1.决定了开口方向;2.轴对称性——研究对称轴,顶点坐标,最大（小）值;3.增减性——研究y随x变化而变化的规律
5、;同时,可以根据特殊点的坐标灵活求解函数解析式,还发现方程(不等式)与函数之间有紧密的联系.下面让我们对一般情形下二次函数的性质进行梳理(略).点评:在二次函数图象中添置了几个特征的数值,以开放性的问题形式,使学生有话要说,又有话好说,说明教师准确把握了学情;在启发引导中围绕二次函数的知识和性质,体现数形结合的思想和方法,反映了教师对知识理解的深度和教学基本功.知识的回顾不以提纲式的罗列知识点来展开,而结合问题解决进行回顾和总结是本课教学设计的一个亮点。2.3层层深入,提炼思想方法师:通过例题我们发现,图像
6、直观反映了函数的性质,而数据又精确刻画了图像的大小与位置,数形结合,相得益彰.下面就让我们继续遵循这个方法,对二次函数作进一步的深入研究.请看问题.例2如图1,把此抛物线先绕它的顶点旋转180°,则该抛物线对应的解析式为;若把新抛物线再向右平移2个单位,向下平移3个单位,则此时抛物线对应的函数解析式为.生8:这两个抛物线对应的函数解析式应分别为与.师:理由是什么?生8:抛物线先它的顶点旋转180°,则开口向上,但形状不变,故,而顶点坐标仍为(-1,4),所以由顶点式得;而把新抛物线再向右平移2个单位,向下平
7、移3个单位,顶点坐标变为(1,1),但抛物线的开口方向与大小都不变,则仍为1,而于是.师:这就是说,的符号决定了抛物线的开口方向,绝对值决定了抛物线的形状大小;同时,抛物线的平移规律本质上就是把握点的平移.好,让我们继续研究下去!前面由图像我们已经知道:当x=1或-3时,y=0;当-3＜x＜1时,＞0;当x＜-3或x＞1时,＜0.那么进一步,例3问题1结合图1思考,当y=1时,即方程有几个实数根?生9:当=1时,在图像上就是过(0,1)的一条平行于轴的直线与抛物线有两个交点,则方程有两个不相等的实数根.师:
8、(在屏幕上演示后)这个方程解的个数实际上也常用判别式△判断,但显然利用图像更直观,这充分说明了数形结合的优越性.请看更一般的情形.问题2进一步思考，当为何值时,方程①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根？生10:当＜4时,直线与抛物线都有两个交点;当=4时,直线与抛物线只有一个交点;当＞4时,直线与抛物线没有交点.所以,当＜4时,方程有两个不相等的实数解;当=4时,方程有两个相等的实数解;当＞
