例析一元二次方程的综合运用.docx

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1、例析一元二次方程的综合运用一元二次方程的定义、根的定义、根的判别式等都与其他的知识都有着紧密的联系，出现一些综合性的试题，一直是近年来的中考的一个热点，现就这方面的问题介绍几种解决的方法，供同学们学习是参考。一、与代数式求值问题相结合例1．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值．解：∵有两个相等的实数根，∴⊿＝，即．∵∵，∴【点评】本题需要综合运用分式和一元二

2、次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．二、与函数问题相结合例2．已知关于x的一元二次方程x2=2（1－m）x－m2的两实数根为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．【分析】（1）根据题中“有两个相等实数根”这个关键词借助根的判别式获得关于m的不等式，从而确定m的值；（2）由两根之和得出y的值，再根据函数的增减性得出答案。【解】（1）将原方程整理为x2+2（m－1）x+m2=0

3、．∵原方程有两个实数根，∴△=[2（m－1）2－4m2=－8m+4≥0，得m≤．（2）∵x1，x2为x2+2（m－1）x+m2=0的两根，∴y=x1+x2=－2m+2，且m≤．因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得极小值1．【点评】一元二次方程中待定系数m如何明确，由根的判别式是一个很重要的依据，读题时要敏锐地捕捉到题目中的的关键词--有“两个实数根”，能帮助我们解决第一问；而第二问中可以根据两根之和得出x1+x2的值，再由一次函数的增减性得出极值。例3．已知关于x的方程．（1）若这个方程有实数根

4、，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．【分析】（1）若这个方程有实数根，则△≥0；（2）若这个方程有一个根为1，可将1代入方程；（3）设方程的两个根为，，结合反比例函数解析式与一元二次方程根与系数的关系求解．【解】（1）由题意得△＝≥0　化简得≥0，解得k≤5．（2）将1代入方程，整理得，解这个方程得，.（3）设方程的两个根为，，根据题意得．又由一元二次方程根与系数的关系得，那么，所以，当k

5、＝2时m取得最小值－5【点评】第（1）问考查一元二次方程根的判别式，第（2）问考查一元二次方程的根的意义及解法．前两问相互独立，考查知识点单一，属于基础题。第（3）问把反比例函数与一元二次方程根与系数的关系结合在一起，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．三、与几何问题相结合例4．从甲、乙两题中选做一题．如果两题都做，只以甲题计分．题甲：若关于的一元二次方程有实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设，求t的最小值．图（11）PQDCBA题乙：如图（11），在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连结D

6、P并延长，交AB的延长线于点Q．（1）若，求的值；（2）若点P为BC边上的任意一点，求证．　　我选做的是_______题．【分析】题甲：由一元二次方程有实数根，可得．，从而求得k的取值范围；利用根与系数的关系可求得t值．题乙：（1）利用相似三角形的性质易于求出的值；由（1）得，所以，进而求的结论．【解】题甲解：（1）∵一元二次方程有实数根，∴，即，解得（2）由根与系数的关系得：，∴，∵，∴，∴，即t的最小值为－4．题乙（1）解：四边形ABCD为矩形，∵AB=CD，AB∥DC，∴△DPC∽△QPB，∴

7、，∴，∴．（2）证明：由△DPC∽△QPB，得，∴．【点评】本题综合考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质，解决类问题，各问之间一般不是“并列”就是“递进”关系，想此题，各问之间就是“递进”关系，解决第二问，需要借助第一问的知识．四、与实际应用问题相结合例5．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的14000元/下降到5月份的12600元/（1）问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：）（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌

8、破10000元/？请说明理由．【分析】（1）可以设4、5两月平均每月降价的百分率是为，根据题意列出一元二次方程即可解答。（2）可以按降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价，也可通过估算加以判断。【解】（1）设4、5两月平均每月降价的百分率为，根据题意，得化简，得解得（不合题意，舍去）因此，4、5两月平均每月降价的百分率约为5%（2）解：如果按此降价的百分率继续回落，估计7月份的商品房成交均价为由此可知，7月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/㎡【点评