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1、讲授二次函数的建议历年来，教师在给学生讲授“二次函数”一章知识时，学生因题型太活而学不懂，教师也因找不到把题讲得更浅显易懂的切入点而头痛。原因有两点：一是教师站在自己的知识高度去讲授，认为本章只是对前面己有基础知识的加深；二是学生自身认识上出现了转变，初一、二所学的题型答案是固定的，而现在对于一个解析式中的x、Y有无数组解，而且解又当成平面直角坐标系的点的坐标，可描出无数个点，就成其为函数的图象，同时也为找到图象与解析式系数间的联系而困惑。针对这情况，提出几点讲解二次函数的建议：一、讲清几种基本形式，并总结出顶点、对称轴、最值与解析式系数的关系，以便让学生根据解析式
2、直接写出顶点、对称轴、最值。由二次函数的定义Y=ax2+bx+c(a≠0)中常数a、b、c的不同关系，得出下列几种形式（对以上形式的说明：a的作用是确定抛物线开口方向和开口大小，而每种形式的顶点都与系数有联系，且对称轴、最值又与顶点有直接联系，即顶点的横坐标是对称轴，顶点的纵坐标是最值。）二、让学生能根据解析式确定该函数图象（抛物线）在平面直角坐标系中的位置，并理解不同形式间的位置关系。①y=ax2+c相对于y=ax2的图象向上或向下平移│c│个单位。②y=a(x-h)2相对于y=ax2的图象向左(h﹤0)或向右(h﹥0)平移了│h│个单位。③y=a(x-h)2+k
3、相对于y=ax2的图象向左或向右平移│h│单位，再向上或向下平移│k│个单位。④y=a(x-x1)(x-x2)中，x1、x2是与x轴两交点的横坐标。如：解析式顶点对称轴最值Y=x2(0,0)Y轴最小值0Y=x2+2(0,2)Y轴最小值2Y=(x+2)2(-2,0)X=-2最小值0Y=(x+2)2-2(-2,-2)X=-2最小值-2Y=(x-1)(x+2)(-，-)X=-最小值-三、说明y=ax2+bx+c（a≠0）的一般形式中，a、b、c与y=a(x-h)2+k中h、k的关系，以便能根据a、b、c直接得出顶点或把一般式写成y=a(x-h)2+k的形式。由y=ax2+
4、bx+c（a≠0）配方可得到y=a(x+)2+，故h=---，k=——。例如：把y=—x2-6x+21写成y=a(x-h)2+k的形式：解：∵y=—x2-6x+21中，h=-—,k=——∴h=-——=6k=————=3∴y=—x2-6x+21可写成y=—（x-6）2+3.四、说明y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴的交点情况：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点就是（0，c）。而与x轴相交时，y=0。因为x轴上的任何点纵坐标都是0。当y=0时，正好是一个一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），它的两根是y=0时得到的，故得到（x1,0）,
5、(x2,0),即方程的两根是与x轴两交点的横坐标。在讲与x轴交点的同时，说明用△=b2-4ac判定y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有无交点。①当△＞0时，y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个不同交点；②当△＝0时，y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有且只有一个交点；③当△＜0时，y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴没有交点。例如：求证y=x2-2(k+1)x+2(k-1)，不论k为何值时，图象与x轴有两个不同的交点。证明∵△=b2-4ac=4(k+1)2-8(k-1)=4(k2+2k+1-2k+2)=4(k2+3)=4k2+12∵不论k为何值时，k2≥0
6、∴4k2+12＞0，即△＞0∴抛物线y=x2-2(k+1)x+2(k-1)不论k为任何值时，图象与x轴有两个不同的交点。五、讲清楚y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴上截得的线段长与a、b、c的关系。由上述与x轴的交点情况，当△＞0时，与x轴有两个交点，两交点间的距离即是抛物线在x轴上截得的线段长。而两交点若为（x1，0），（x2,0）,则
7、x1-x2
8、=——，过程如下：当y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交时，则ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,故与x轴交于（x1，0），（x2,0），而x1+x2=-—x1x2=—∴x12+2x1x2+x22=—∴x12
9、-2x1x2+x22+4x1x2=—∴（x1-x2）2=—-—=——∴
10、x1-x2
11、=——如：y=x2-(m-3)x-m与x轴两交点间的距离为3，求解析式。解：∵y=x2-(m-3)x-m与x轴两交点间的距离为3，∴——=3∴——=9∴（m-3）2+4m-9=0∴m1=0,m2=2∴解析式为y=x2+3x或y=x2+x-2六、如何据y=ax2+bx+c（a≠0）的图象确定a、b、c的取值范围。a是决定抛物线的开口，c是确定与y轴的交点，再由对称轴和a共同来确定b。当对称轴在y轴左方，x=-—﹤0，所以—＞0，即a、b同号；当对称轴在y轴右方，x=-—＞0时，所以
