讲授实变函数的点滴体会

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1、高等理科教育2000年第1期(总第29期)讲授实变函数课的点滴体会X周性伟摘　要　实变函数是在建立一些新的概念的基础上展开的,如何把这些新的概念与微积分中已知的一些概念紧密结合起来,对讲授实变函数有不少帮助,本文是作者多年教学的一些体会。关键词　实变函数　微积分　曲边梯形实变函数课在我国高等学校数学系的教学计划中属于专业基础课,是一门承上启下的课。所谓“承上”,它是数学分析课(主要是微积分部分)的继续、发展、深化和拓广;所谓“启下”,它是泛函分析、偏微分方程、概率论与随机过程等课程的基础。因此讲授实变函数,在课时保证的前提下(例如实际讲授18周

2、,每周4学时),除了讲完应讲的内容外,似应把这个“承上”做好,也就是说在讲授中,要把实变函数中的主要概念和结论与微积分中的相应部分尽可能紧密地联系起来。下面谈谈作者在这方面的点滴体会。微积分中最重要的两个概念之一就是黎曼积分,这里我们把它称为R积分。微积分中R积分又是从求一个曲边梯形的面积引导出来的。设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上并且f(x)非负,即f(x)E0。此时在xy平面上,由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围图形,也就是xy平面上的点集S={(x,y):aFxFb,0FyFf(x)}就称为由函数y=f(x)所确定

3、的曲边梯形。为求S的面积,首先把[a,b]进行分割,设分点为{xk}0FkFn,其中a=x0

4、果有一个实数I,使得分割愈来愈细时,不管Nk在任一区间[xk21,xk]中如何选取,上述和式会愈来X周性伟　南开大学42©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.高等理科教育　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　讲授实变函数课的点滴体会b愈接近I,则I就称为f(x)在[a,b]上的R积分,记成I=(R)∫f(x)dx,而f(x)就称为a在[a,b]上R可积.同时I也就被当作曲边梯形的面积.这样,在微积分中,一个曲边梯形是否有面积,是与相应的函数f(x

5、)是否R可积是等同的.数学分析中已经证明:当f(x)在[a,b]上连续时,f(x)是R可积的,从而相应的曲边梯形有面积;而当f(x)“太不连续”时,例如f(x)在有理点上取值1,在无理点上取值0(即所谓狄里赫莱函数),则f(x)就不是R可积的,因此相应的曲边梯形就没有面积!在中学阶段,从边长为1的正方形开始,学生学会了求正方形,长方形,平行四边形,三角形,多边形以及圆盘的面积等.平面上随便画一个图形,对中学生来说,只存在不知如何来计算面积的问题,而不存在这个图形根本就没有面积的问题!事实上在微积分中,关于求曲边梯形的面积,更精确的说法应该是:当

6、f(x)R可积时,可以用R积分的方法求曲边梯形的面积,而当f(x)不是R可积时,就不能用积分的方法求曲边梯形的面积.对后者,实际上深远一层的含义是:曲边梯形的面积是有的,只不过不能用R积分来计算而已!于是,一个自然的问题是:对曲边梯形,是否有别的一般性的计算其面积的方法呢?b若有,不妨把它说成是L计算法,或者就叫L积分,计算结果记成(L)∫f(x)dx,那么a我们自然地有两点期望:bb11当f(x)R可积时,应该(L)∫f(x)dx=(R)∫f(x)dx,也就是说用两种方法计算aa同一个曲边梯形的面积应该是相等的;21对相当一类不R可积的函数(

7、此时不能用R积分来计算相应曲边梯形的面积),也能按L积分来计算相应曲边梯形的面积.换句话说,L积分能适应于更一般的函数!那么这种更一般的计算方法到底有没有呢?为了说明问题,我们举一个简单的例。设想在我们面前自左至右排列着一大堆纸币,例如100张.此时我们可以用一个函数f(x)来描述这堆纸币:f(x)的定义域是[1,101],而对每一正整数k,1FkF100,f(x)在[k,k+1]上是常数f(k),这里f(k)表示自左至右第k张纸币的币值,若币值都以元为单位,则对每x∈[1,101],f(x)就是下列9个数{ys}1FsF9中的某一个:y1=0

8、11,y2=012,y3=015,y4=1,y5=2,y6=5,y7=10,y8=50,y9=100.最后再定义f(101)=f(100).现在很明显