弱几乎极限算子的一些性质.pdf

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1、第25卷第2期洛阳理工学院学报(自然科学版)V0l_25No．22015年6月JournalofLuoyangInstituteofScienceandTechnology(NaturalScienceEdition)Jun．2015弱几乎极限算子的一些性质周玉莎，陈滋利(西南交通大学数学学院，四川成都610031)摘要：给出了弱几乎极限算子与一弱紧算子(半紧算子)的关系，同时也给出了弱几乎极限算子是极限全连续算子的充要条件，以及相关结论。关键词：弱几乎极限算子；极限全连续算子；L一弱紧算子；序连续范数DOI：10．3969／i

2、．issn．1674—5403．2015．02．022中图分类号：O177．2文献标识码：A文章编号：1674—5403(2015)02—0090—03用，y表示Banach空间，B记的闭单位球。E，F记为Banach格，E+为E的正锥，即E+={∈E，≥0}。对任意的一个集合A，用s0z(A)记A得实体包，即s0l(A)={∈E：]YeA，II≤lYI}。十，设X中的有界子集A，如果满足在X中的任意_厂n，都有supI()l一0，则称A为极限集。易知中的每一个相对紧集都是极限集，但反之不成立。事实上集合{e：∈N}是极限集不是

3、相对紧集，其中e是f中的基。如果中的极限集都是相对紧集，则称是Gelfand—Phillips空间(简称GP性)。Banach空问具有GP性当且仅当中极限集有IIl=1。由文献⋯知如果对E中任意1-，的不交列，都有supJ()i，则称E中的有界子集A是几乎极限集。显然，极限集是几乎极限集，反之不一定成立。例如B是几乎极限集但不是极限集。有界线性算子：—y称为极限算子，如果满足T(B)是y中的极限集。由文献知有界线性算子：—称为几乎极限算子，如果满足(B)是y中的几乎极限集。有界线性算子：—E称为弱几乎极限算子，如果把中的相对弱紧

4、集映为l，中的几乎极限集。有关几乎极限算子与弱几乎极限算子的结论可见文献j。中任意的不交列．厂n一0，有1l一0，则称E具有性质(d)。E中任意序列一0，有lI一O，则称E具有弱⋯1J，序列连续格运算。对于E中任意的不交列fn，E中的序列0，有()0，则称E有弱Dunford—Pettis眭。等价地，中的相对弱紧集都是极限集。文中未提到的术语和概念可参考文献。1弱几乎极限算子的一弱紧性首先给出了在空间满足什么样的条件下，弱几乎极限算子是L一弱紧算子。定理1设是自反的Banach空间，E是具有序连续范数的Banach格，：—E是连

5、续线性算子。则是一弱紧算子当且仅当是弱几乎极限算子。证明：必要性根据文献⋯中的定理2．6知显然成立。充分性是因为是白反的，可知口是弱紧集。又是弱几乎极限算子，则把中的相对弱紧集映为E中的几乎极限集，即(B)是E中的几乎极限集。因E是具有序连续范数，由文献中的定理2．6的式(2)知(B)是E中的一弱紧集，所以是一弱紧算子。收稿日期：2015—03—14作者简介：周玉莎(1988一)，女，河南濮阳人，在读硕士研究生，主要从事泛函分析方面的研究陈滋利(1961一)，男，四川成都人，教授，主要从事泛函分析方面的研究．基金项目：四川省基础

6、研究项目(2OLOJYOO67)．第2期周玉莎等：弱几乎极限算子的一些性质91注：若将定理1中E具有序连续范数空间改为E是有限维的，根据文献中的定理3．1结论仍然成立。上述定理在满足一定的空间条件时，得到算子之问的一定关系。下述定理根据算子之间的关系，推出空间的性质。定理2设是Banach空间，E是Banach格。若弱几乎极限算子：—是一弱紧算子，则E具有序连续范数。证明：用反证法，假设不具有序连续范数，则存在Y∈E+，不交列(Y)C[0，Y]，有I】YIl不收敛于0。对任意的0≠∈X，存在上的连续线性泛函／满足lI川=1并且)

7、=ll。定义算子T：X—E()=-厂()，∈X显然，是紧算子，从而也是弱几乎极限算子。根据题设是己一弱紧算子。注意(Y)是sol(T(B))中的不交列，由一弱紧算子的定义知IlYcl一0，矛盾。故E具有序连续范数。根据文献]中的命题2．3，可得到关于弱几乎极限算子的相关结论。推论1若E具有弱序列连续格运算。则每一个半紧算子71：—E是弱几乎极限算子。证明：因为是半紧算子，则(B)是E中的几乎序有界集。根据文献中的命题2．3知(B)是极限集，从而是极限算子，故而是弱几乎极限算子。推论2若具有性质(d)，则每一个半紧算子：E是弱几乎

8、极限算子。证明：因为是半紧算子，则T(B)是E中的几乎序有界集。根据文献中的命题2．3知(B)是几乎极限集，从而是几乎极限算子，故而是弱几乎极限算子。2弱几乎极限算子的极限全连续性如果把中的弱零列并且为极限集映为范零列，则称是极限全连续算子(简称lcc)。显然有