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1、滴性质和拟弱滴性质的一些充要条件第44卷第1期2005年1月厦门大学(自然科学版)JournalofXiamenUniversity(NaturalScience)V01.44NO.1Jan.2005滴性质和拟弱滴性质的一些充要条件张子厚(上海工程技术大学基础学院.上海200336)摘要:用溪序列,(a)性质,弱(a)性质和连续点的概念.我们证明了Fr&het空间(x.d)(即完备的可度量局部凸空间)中有界闭凸集有滴性质和拟弱滴性质的一些充要条件.其主要结论是:Fr&:het空间中有界闭凸集B(intBe:D)有滴性质等价B有(a)
2、性质.也等价B是弱紧集且B的每个支撑点是B的连续点.B有拟弱滴性等价于B有弱(a)性质.关键词:Fr~het空间;滴性质;拟弱滴性质;溪;(口)性质;弱(a)性质;支撑点;连续点中图分类号:O177.3文献标识码:A文章编号:0438—0479(2005)01—0013—03设(X,lI?lI)是Banach空间,B(X)一{z∈X:lIzlI≤1}是x的闭单位球.设z.∈xB(x),称D(x.,B(X))一CO({z.},B(X))是由z.和B(X)决定的滴(Drop).Den~s[1证明着名的Drop定理:设A是Banach空间X中与B(X)
3、的距离为正的闭集,则存在z.∈A,使得D(x.,B(x))f'lA一{z.}.文献Ezl证明了Drop定理与Ekeland变分原理是等价的.Rolewicz[3修改了Drop定理的假设,在Banach空间中引入了范数lI?lI的滴性质:如果对每个与B(X)分离的闭集A,存在z.∈A,使得D(x.,B(X))nA={z.},则称范数lI?lI有滴性质.这以后多种形式的滴性质被引入.例如Kutzarova和Rolewicz【4],Giles和Kutzarova[5分别引入了有界闭凸集上的滴性质和弱滴性质:Banach空间X中有界闭凸集B被称为有滴(弱滴
4、)性质,如果对每个与B分离的闭集A(弱序列闭集A),存在z.∈A,使得D(x.,B)flA一{z.}.最近丘京辉在文献[6][7]中用"弱闭集A"代替弱滴性质中的"弱序列闭集A",引人了一种新的滴性质一拟弱滴性质.他证明了Fr6chet空间中有界闭凸集B有拟弱滴性质等价于B是弱紧集;也等价于B有弱滴性质.由此他证明了:"Fr6chet空间是自反的当且仅当X中每个有界闭凸集B有拟弱滴性质."本文中,我们将证明Fr6chet空间有界闭凸集有滴性质和拟弱滴性质的一些充要条件,推广了文献[4]中一个主要结论.1记号和定义的拓扑对偶.(X,)表示Fr&
5、;het空间(即完备的可度量的局部凸空间).a(X,X)表示X上的弱拓扑.设B是X中闭凸集,F(B)表示B上所有非零的线性连续泛函的全体,显然B有界时,F(B)一X.{0}.设,27.∈XB,D(x.,B)一CO({z.},B)表示由z.和B决定的滴.设厂∈X',>0,S(f,B,)一{z∈B:厂(z)>supf(B)一}表示切片.定义1设B是局部凸空间(X,丁)中闭凸集,A是与B分离的闭集(弱闭集),如果存在z.∈A,使得D(x.,B)nA一{z.},则称B有滴性质(拟弱滴性质).定义2设B是Fr6chet空间(X,)中闭凸集,如
6、果对每个厂∈F(B),z∈S(f,B,),有{z}在(X,)(或(X,a(X,X'))中存在收敛子列,则称B有(口)(弱(口))性质.定义3设B是局部凸空间(X,丁)中闭凸集,如果序列{z}cXB,使得z计1∈D(x,B),则称{z}是溪.定义4设B是Fr&het空间(X,)中有界闭凸集,z∈B,如果存在,∈X.,使得厂(z)一supf(B),则称z是B的支撑点;ff:rg(~Tn}CB如果~Tn,,z蕴含z._二z,则称z是B的连续点.显然定义1—4是文献[3,4,6,8]中Banach空间中相应概念的推广.本文中(x,丁)表示局部凸空
7、间,x.表示(X,T2滴和拟弱滴性质的充要条件收疆日期=2003一l1-05基金项目:上海市教委科研基金资助作者篱介:张予厚(1956一),男,教授.引理1设B是Fr6chet空间(X,d)中有界闭凸集,A是与B分离的闭集,如果对任意z∈A,D(x,B)nA≠{z),则对任意∈A,d(D(z,B)nA,B)一0.厦门大学(自然科学版)2OO5正其中(E,F)一inf{d(a,6):a∈E,b∈F),d(a,6)表示a和b在(X,)中度量d下的距离.证明类似文献E6-1引理2.2证法可证.定理1设B是Fr~chet空间(X,)中有界闭凸集,则下列条件
8、等价:1)B有滴性质.2)XB中每个溪在(X,)中都存在聚点.3)XB中每个溪在(X,)中都存在收敛子列.证明1)骨2
