信号与系统1.3-1.4

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1、1.4阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函数。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。1.4阶跃函数和冲激函数一、阶跃函数1定义：下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。选定一个函数序列γn(t)如图所示。n→∞2延迟单位阶跃信号1.4阶跃函数和冲激函数3阶跃函数性质：（1）可以方便地表示某些信号f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用阶跃函数表示信号的作用区间（3）积分二、冲激函数单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。狄拉克(D

2、irac)定义函数序列定义δ(t)冲激函数与阶跃函数关系1.狄拉克(Dirac)定义积分面积为1；t=0时，，为无界函数。函数值只在t=0时不为零；2.函数序列定义δ(t)对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t)。求导高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。3冲激函数与阶跃函数关系：求导n→∞求导引入冲激函数之后，间断点的导数也存在f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求导三、冲激函数的性质取样性冲激偶尺度变换复合函数形式的冲激函数1.4阶跃函数和冲激函数1.与普通函数f(t)的乘积——取样性质若f(t)在

3、t=0、t=a处存在，则f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，f(t)δ(t–a)=f(a)δ(t–a)0ε(t)举例1.4阶跃函数和冲激函数2.冲激函数的导数δ’(t)（也称冲激偶）f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)证明：[f(t)δ(t)]’=f(t)δ’(t)+f’(t)δ(t)f(t)δ’(t)=[f(t)δ(t)]’–f’(t)δ(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)δ’(t)的定义：δ(n)(t)的定义：1.4阶跃函数和冲激函数3.δ(t)的尺度变换推论:(1)δ(2t)=0.5δ(t)(2)当a=–1时所以，δ(–t)=

4、δ(t)为偶函数，δ’(–t)=–δ’(t)为奇函数1.4阶跃函数和冲激函数已知f(t)，画出g(t)=f’(t)和g(2t)求导，得g(t)压缩，得g(2t)1.4阶跃函数和冲激函数4.复合函数形式的冲激函数实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函数。并且f(t)=0有n个互不相等的实根ti(i=1，2，…，n)ε[f(t)]图示说明：例f(t)=t2–4ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)1.4阶跃函数和冲激函数ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)一般地，注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。冲激函数

5、的性质总结（1）取样性（2）奇偶性（3）比例性（4）微积分性质（5）冲激偶1.4阶跃函数和冲激函数这两个序列是普通序列。（1）单位(样值)序列δ(k)的定义取样性质：f(k)δ(k)=f(0)δ(k)f(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)例三、序列δ(k)和ε(k)1.4阶跃函数和冲激函数（2）单位阶跃序列ε(k)的定义（3）ε(k)与δ(k)的关系δ(k)=ε(k)–ε(k–1)或ε(k)=δ(k)+δ(k–1)+…