1：高考经典问题：函数与方程

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1、高考数学总复习第一讲：函数与方程函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律．函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．    在解决某些数字问题时，先设定一些未知数，然后把它们当作已知数，根据题设本身各量间的制约，列出等式，所设未知数沟通了变量之间的关系，这就是方程的思想．    函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，一个函数若有解析表达式，那么这个表达式就可看成是一个方程．一个二元方程，两个变量存在着对应关系，如果

2、这个对应关系是函数，那么这个方程可以看成是一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，因此，许多有关方程的问题可以用函数的方法解决；反之，许多有关函数的问题则可以用方程的方法解决．总之，在复习中要注意领悟蕴含在知识和解题过程中函数和方程的思想，用它来指导解题．在解题中，同时要注意从不同的角度去观察探索，寻求多种方法，从而得到最佳解题方案．一、例题分析例1．已知F(x)=xα-xβ在x∈(0,1)时函数值为正数，试比较α,β的大小．    分析：一般情况下，F（x）可以看成两个幂函数的差

3、．已知函数值为正数，即f1(x)=xα的图象在x∈(0,1)上位于f2(x)=xβ的图象的上方，这时为了判断幂指数α,β的大小，就需要讨论α,β的值在（1，+∞）上，或是在（0，1）上，或是在（0，1）内的常数，于是F（x）成为两个同底数指数函数之差，由于指数函数y=at(0<α<1)是减函数，又因为xα-xβ>0，所以得α<β．例2．已知0

4、0a，所以a＜aα，从而aα<(aα)α．    比较aα与(aα)α的大小，也可以将它们看成底数相同（都是aα）的两个幂，于是可以利用指数函数是减函数，由于1>a，得到aα<(aα)α．    由于a＜aα，函数y=ax(0(aα)α．    综上，．    解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题简单．    例3．关于x的方程有实根，且根大于3，求实数a的范围．    分析：先将原方程化简为ax=3，但要注意0

5、成以a为底的指数函数，考虑底数a为何值时，函数值为3．如图（1），过（3，3）点的指数函数的底8，现要求0

6、）．    （A）f(x)=x+4      （B）f(x)=2-x      （C）f(x)=3-

7、x+1

8、   （D）f(x)=3+

9、x+1

10、        解法一、∵f(-2)=f(2)=2  f(-1)=f(3)=3，∴只有（A）、（C）可能正确．     又∵f(0)=f(2)=2，∴（A）错，（C）对，选（C）．解法二、依题意，在区间［2，3］上，函数的图象是线段AB，    ∵函数周期是2，    ∴线段AB左移两个单位得［0，1］上的图象线段CD；再左移两个单位得［–2，1］上的图象线段EF．    ∵函数是偶函

11、数，    ∴把线段CD沿y轴翻折到左边，得［–1，0］上的图象线段FC．    于是由直线的点斜式方程，得函数在［–2，0］上的解析式：             即       由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0， 所以y=3-

12、x+1

13、,x∈[-2,0]．解法三、当x∈[-2,-1]时，x+4∈[2,3]，    ∵函数周期是2，8    ∴f(x+4)=f(x)．    而f(x+4)=x+4，    ∴x∈[-2,-1]时，f(x)=x+4=3+(x+1)．    当x∈[-1,0]时，

14、-x∈[0,1]，    且-x+2∈[2,3]．    ∵函数是偶函数，周期又是2，    ∴，    于是在［–2，0］上，     ．    由于x∈[-2,-1]时，x+1≤0，x∈(-1,0)时，x+1>0，    根据绝对值定义有x∈[-2,0]时，