一阶微分方程及其建模方法

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1、微分方程基础及其数学模型一阶微分方程和微元分析法二阶微分方程基础常见微分方程模型解一、微分方程的基本概念解代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.2、微分方程的定义微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.分类1:常微分方程,偏微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:分类3:线性与非线性微分方程.分类4:单个微分方程与微分方程组.微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：3、主要问题-----求方程的

2、解(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.解所求特解为补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法1、可分离变量的微分方程二、一阶微分方程的求解例1求解微分方程解分离变量两端积分解由题设条件衰变规律整理可得：的

3、微分方程称为齐次方程.(2).解法作变量代换代入原式可分离变量的方程(1).定义2、齐次方程例1求解微分方程微分方程的解为解例2求解微分方程解微分方程的解为一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.3、一阶线性方程齐次方程的通解为(1).线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)(2).线性非齐次方程常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解解例1微元分析法举例及其特点湖水污染和净化化学反应动力学模型三、微元分析建模方法如

4、图所示，一容器内，原有100毫升盐水，其中含盐50g，现以流速3毫升/分钟的速度向容器注入盐水，每毫升含盐量为2g。假定流入的盐水和容器内的盐水因搅拌而能瞬时混合均匀，并以同样的速度流出。建立微分方程，描述容器中含盐量的变化过程，由此计算半小时后容器内剩多少公斤盐？微元分析法举例解：设t时刻对应的含盐量为y(t)，y(0)=50，（单位：g）在任意一段时间内，都有平衡式：容器内的盐的改变量=流进的盐量—流出的盐量。在t→t+△t时间段考虑容器内含盐量变化情况：对应的盐的改变量=△y=y(t+△t)-y(t)；流进盐量—流出盐量=3×△t×2—3×△t×y(t)/100；所以△y=[6-3

5、×y(t)/100]×△t，△y/△t=[6-3×y(t)/100]，令△t→0，得微分方程y‘=6—3y/100，且y(0)=50利用分离变量法，可求出通解为y=200—ce—3t/100，由初始条件y(0)=50，代入得c=150，所以容器含盐量的变化规律为：y=200—150e-3t/100，当t=30分钟，y(30)=139克。？上述过程中，为什么要令△t→0？微元分析法的建模特点在建立关于函数y=y(t)的微分方程时，常常让自变量在[t,t+△t]的微小区间内活动（区间长度△t也可记作dt，称为微元），而方程两端通常用来描述函数y从t→t+△t的改变量：左=△y=y(t+△t)

6、—y(t)-----------函数增量右=f(t,y(t))×△t-----------------利用问题所涉及的相关知识，将函数值在[t,t+△t]内的改变量用△t的一次形式近似表示出来。则△y/△t=f(t,y(t))，令△t→0，得微分方程dy/dt=f(t,y(t)).由于我们描述的函数常常以时间为自变量，因此，用微元分析法建立的微分方程的左端项dy/dt的实际含义通常可理解为“速率”（即函数相对于时间的变化率），如：移动速率；温度的冷却速率；化学反应速率；繁殖速率等等。在这个意义上，微元分析法建立的微分方程又称“速率”方程。如上例中，可直接建立盐量改变的速率方程：左=盐量的

7、变化速率=dy/dt；右=盐量的流入速率-流出速率则有：y’=6-3y/100。一热水瓶内装有100摄氏度的热水，放在约20摄氏度的房间内，在24小时后，测得瓶内温度为50摄氏度。假定冷却的速率与温差成正比，试描述热水瓶温度的变化过程，并求出3小时后温度为多少？热水的冷却过程解：设t时刻热水瓶内对应的温度为y(t)，y(0)=100，（单位：摄氏度）由冷却定律，t时刻的冷却速率和当时热水瓶内温度与室内温度差成正比，设比例常数为k，则