数学建模的微分方程方法.ppt

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1、数学建模的微分方程方法主讲人：杨和2017.7.24-25许多有趣的实际问题都包含着随时间发展的过程。动态模型常被用于表现这些过程的演变。动态模型建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，接着求解微分方程并将微分方程的解翻译回实际对象，最后就可以进行描述、分析、预测和控制实际对象了。五步方法、灵敏性分析和稳健性分析等基本原则对动态模型是有意义并且是有用的。在探讨一些最流行和最实用的动态建模技巧时，我们常采用这些方法。一般来讲，动态模型易于构造但是难于求解。精确的解析解仅对少数特

2、殊情况存在，如线性系统。数值方法常常不能对系统的行为提供一个好的定性的解释。所以图形表示通常是分析动态模型不可缺少的一部分。由于图形表示特有的简单性，以及它的几何性质，使得它在数学建模中占据了重要地位。事实上，对于动态模型，数值方法结合图形分析才是最有效的方法。目录：§1五步方法§2灵敏性分析§3稳健性分析§4薄膜渗透率的测定§5香烟过滤嘴的作用§6其他实例本节简要介绍用数学建模解决问题的一般过程，称之为五步方法。1.提出问题2.选择建模方法3.推导模型的数学表达式4.求解模型5.回答问题§1五步方法例1.1一头猪重200磅,每天增重5磅,伺养每天

3、需花费45美分。猪的市场价格是每磅65美分，但是每天下降1美分。求出售猪的最佳时间。注：1磅=0.454千克而问题需要用数学语言表达，这通常需要大量的工作。在这个过程中，需要对实际问题做一些假设，但不需要做出推测，因为我们总可以在后面的过程中随时返回并做出更好的推测。在用数学术语提出问题之前，我们需要定义所用的术语。第一步是提出问题，首先，列出整个问题所涉及的变量，包括恰当的单位。然后，写出关于这些变量所做的假设，列出已知的或者假设的这些变量之间的关系式,包括等式或不等式。最后，用明确的数学语言写出这个问题的目标的表达式。变量、单位、等式、不等式和

4、假设，就构成了完整的问题。在例1.1中，变量包括:1.猪的重量w(磅)2.从现在到出售经历的时间t(天)3.t天内伺养猪的花费C(美元)4.猪的市场价格p(美元/磅)5.售出生猪所获得的收益R(美元)6.最终获得的净收益P(美元)还有一些量，如猪的初始重量(200磅)等，但这些量不是变量。把变量和常量分开是很重要的。下面我们列出对这些变量所做的假设。在这个过程中，我们要考虑问题中的常量的作用把变量的单位带进去,可以检查所列式子是否有意义。变量：t=从现在到出售的时间(天)w=猪的重量(磅)p=猪的价格(美元/磅)C=饲养t天的花费(美元)R=售出猪

5、的收益(美元)P=净收益(美元)假设：w=200+5tp=0.65-0.01tC=0.45tR=p·wP=R-Ct≥0目标：求P的最大值图1-1售猪问题的第一步的结果注意：第一部分三个阶段(变量、假设、目标)的确定不需要按特定的顺序。现在我们已经有了一个用数学语言表述的问题，我们需要选择一种数学方法来获得解。许多问题都可以表示成一个已有的有效的一般求解方法的标准形式。应用数学领域的多数研究都包含确定问题的一般类别，并提出解决该类问题的有效方法。在这一领域有许多文献，并且不断取得新的进展。一般很少有学生对选择较好的建模方法有经验或熟悉文献。在座的各位

6、大都是首次参加数学建模比赛，至多也就是参加了学校的建模比赛，对形形色色的建模方法更是知之甚少。这也是我为什么选择这部分内容作为本讲的第一节的主要原因。第二步是选择建模方法。设在处是可微的，如果在处达到极大或极小,则。细节可参阅微积分入门教材。建模方法：第三步是推导模型的数学表达式。如：例1.1把问题中的变量名改换一下，在算法上就比较方便。P=R−C=p·w−0.45t=(0.65−0.01t)(200+5t)−0.45t记y=P为目标变量，x=t为自变量，则问题转化为在集合S={x:x≥0}上求下面函数的最大值：y=f(x)=(0.65−0.01x

7、)(200+5x)−0.45x.即要把第一步得到的问题应用于第二步，写成所选建模方法需要的标准形式，以便于我们运用标准的算法过程求解。第四步，利用第二步中确定的标准过程求解这个模型。如本例中即对y=f(x)=(0.65−0.01x)(200+5x)−0.45x在区间x≥0上求最大值。如图1-2可知，y=f(x)关于x是二次的曲线图，易得f'(x)=−0.1x+0.8则在点x=8处f'(x)=0.图1-2售猪问题的净收益f(x)关于时间x的曲线图05101520126128130132134xf(x)y=−0.05x2+0.8x+130由f在区间(−

8、∞,8)上单调递增,而在区间(8,+∞)上单调递减。故点x=8是全局最大值点。且有f(8)=133.20,从而点(x,y)