基于微分方程的数学建模方法

《基于微分方程的数学建模方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、２０１４年青海师范大学学报（自然科学版）２０１４第２期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＱｉｎｇｈａｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Ｎｏ．２基于微分方程的数学建模方法马建萍（青海师范大学数学系，青海西宁８１０００８）摘要：数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段和途径，是根据需要针对实际问题创建数学模型的过程．文中通过典型实例分析了微分方程在不同领域实际问题中的数学建模方法和过程，给出了建模的具体步骤及其需要解决的关键问题，对利用微分方程解决实际问题具有一定的借鉴作用．关键词：微分方程；数学建模；数学模型中图分类号：Ｏ１７５．１文献标识

2、码：Ａ文章编号：１００１－７５４２（２０１４）０２－０００８－０５１引言随着科技进步和计算机技术的飞速发展，数学模型已广泛应用于社会各个领域．数学在此发展过程中发挥了它不可替代的作用，自身也得到了空前的发展．由于计算机的迅速发展和普及，增强了数学解决现实问题的能力．数学向社会、经济和自然界各个领域的渗透，扩展了数学与实际的接触面．众所周知，数学最引人注目的特点是它的思维的抽象性、推理的严谨性和应用的广泛性．这是在数学发展的漫长的历程中逐渐形成的．它来源于人们生产和生活的需要．对其中有关的空间结构、数量关系的共性不断地抽象、升华而形成当今［１］的数学．应用

3、数学知识和计算机去解决各门学科和社会生产中的实际问题时，首先要通过对实际问题的分析、研究组建用以描述这个问题的数学模型，使用数学的理论和方法或者编程计算对模型进行分析从而得到结果，再返回去解决现实的实际问题．可见数学模型、数学建模是应用数学理论和计算机解决实际问题的重要手段和桥梁．大量的事实表明，掌握了数学知识只是应用数学解决实际问题的必要条件，在当前实现数学作为一种技术职能的过程中，使用数学解决实际问题的技能的培养主要是数学建模能力的培养．２基本概念［１－２］模型是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象．也就是人们对所研究客观事物相关属性的模拟．所谓原型

4、是指人们在社会活动和生产实践中所关心和研究的实际对象，在科技领域常常用系统或过程等术语．如电力系统、人口增长过程、病毒扩散过程等．［１－２］数学模型是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象．数学模型并非对现实系统的简单模拟，它是人们用以认识现实系统和解决实际问题的工具．数学模型是对现实对象的信息通过提炼、分析、归纳、翻译的结果．它使用数学语言精确地表达了对象的内在特征．通过数学上的演绎推理和分析求解，使得我们能够深化对所研究的实际问题的认识．［１－２］数学建模是指根据需要针对实际问题创建数学模型的过程

5、．在实践中能够直接运用数学方法解决实际问题的情形极少，即实际问题很少直接以数学的语言描述．而且对于如何使用数学语言来描述所面临的实际问题也不是轻而易举的．应用数学知识解决实际问题，必须要面对实际问题中杂乱无章的现象并从中抽象出恰当的数学关系，此过程就是数学建模．基金项目：校级教学改革研究项目资助．收稿日期：２０１４－０４－２９作者简介：马建萍（１９７２－），女，土族，青海乐都人，教授．研究方向：主要从事基础数学教学及研究．第２期马建萍：基于微分方程的数学建模方法９３建模方法和步骤［１－２］３．１数学建模步骤１）模型准备．如果想对某个实际问题进行数学建模，

6、通常要先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清楚要建模的问题属于哪类学科，然后搜集与建模要求相关的资料和信息，对该问题进行全面的，深入细致的调查和研究．２）模型假设．一个实际问题往往会涉及诸多因素，若把涉及的所有因素都考虑到，既不可能也没必要，还会使问题复杂化导致建模失败．要想把实际问题变为数学问题，要抓住主要因素，不考虑或忽略次要因素，对其进行必要的、合理的简化和假设．３）模型建立．有了模型假设，就可以选择适当的数学工具并根据已有的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构．４）模型求解．在己经建立起来的数学模型中可采用解方程、推理、图解－计

7、算机、定理证明等各种传统和现代的数学方法进行求解，其中有些工作可以用计算机软件来完成．５）模型检验．在求得模型的解之后，需要对模型进行分析和检验．模型分析主要包括误差分析、模型对数据的稳定性分析和灵敏度分析等．模型检验是将所得结果的理论数值与实际数值相比较，如果两者相符，则说明所建模型是成功的；否则需要对所建模型进行修改．６）模型应用．利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释和预报供决策者参考，这一过程称为模型应用．３．２微分方程建模的主要方法在研究较复杂事物的变化过程中，不能直接得出变量之间的函数关系，但是可以找到

8、问题中的一些变量［３－５］及其导数之间的关系，从而建立微分方程．通过求解得到未知