一阶微分方程及其应用

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1、单元1：一阶微分方程及其应用特定目标：1.学习解某些特定一阶微分方程技巧。2.在实际的情况下应用有关建立及解一阶微分方程的技巧。3.能够理解一阶微分方程的解。时间内容教学建议分配1.1基本概念3dyd2y教师可利用如2=x3的简单例子引进微分方=x及dxdx2程(即含有微分系数的方程)的一般概念，并让学生求出这些方程的解，由于这些方程可以简单的积分法求解，所以学生应该2没有任何困难。(第一个方程的解可积x一次求出，而第二dd2yy3个方程则须积x两次。)可是，对于方程++y=0来dx2dx说又如何呢?为引起学生的兴趣，教师可引进术语「常微分方程」，但由于在本范畴的范围内只考虑一

2、个自变量，故此可将它简称为微分方程。学生亦应该知道微分方程的术语：阶、次数、线性及非线性。教师应利用实例来说明不同的概念。教师可以透过例子清楚说明微分方程的解的意义。例如，2xdyf()xe=是方程−20y=的解(因为dxfx′()−2f(x)=0)。「任意常数」、「一般解」及「特解」是本范畴的基本概念；特别地，学生应知道任何不含有n个任意常数的n阶方程的解并非其一般解，而符合某些初值条件或边界条件的解则称为特解。这些概念可透过图像进一步加以阐明。例如，方程dy2x−=2y0的一般解yc=e可用下图的曲线族来表示，而dx2x2x其特解ye=(或者ye=2等)只是曲线族内其中一条

3、曲线。5时间内容教学建议分配学生亦应能识别函数内任意常数的数目。例如，函数cecx2+1似乎含有两个任意常数，但事实上由于cecx22+=()cecex=cex，其中cec2可由一个任意常数c所111取代，所以最终只有一个任意常数。对于能力较佳的学生，教师亦可与他们讨论方程的奇解。例如，在方程2ddyy12yx=+1中，yc=x+是一般解而y=4x则是特ddxxc解。1.2微分方程的建立2本节的重点在于怎样由实际情况建立微分方程，至于求解所建立的方程则可留待以后的章节。教师可提供学生一些例子，指示他们应有的步骤。一个典形的例子就是生物增长的问题：某dP一品种的生物个

4、数在时间t的增长率，与当时的P的数dtdPdP值成正比。学生应能写出关系式∝P或=kP，其中dtdtk，称为增长常数，是一正常数。1.3可分变量微分方程4学生应能辨认出可分变量的微分方程，并将方程写成的解gy()dy=f(x)dx的形式，之后，学生应毫无困难地利用简单积分法求解有关方程。在真实的应用里，一般来说，微分方程的一般解并不特别重要，反之，符合特定的初值条件的特解显得较为有用，所以教师应提供学生更多初值问题。6时间内容教学建议分配在现实的生活里有很多例子皆可导致可分变量的一阶微分方程，以下是其中一部分。1.人口增长某种生物的个数由于移居关系每年减少n，同时由于该生物的出

5、生与死亡，每年的自然增长率为现年个数的λ%，若起dxλ初的个数为N，则t年后的个数x可由=x−n得dt100出。2.指数衰变某放射性物质的衰变率正比于时间t时所余质量x(t)，由dx此可得=−µx其中µ是一正数。dt3.冷却定律某物体被放置于温度为θ的环境中，其温度变化率正比于物体的温度与θ的差。若时间t时物体的温度为T，则dT=kT(−θ)，其中k<0。dt4.扩散-3某能渗透的罐载有浓度为xmgcm的溶液，它被置于载-3有相同溶液但浓度较高(cmgcm)的大容器中；由于扩散关系，罐内溶液的浓度会续渐增加。若c是常数，罐内溶液的浓度增加率与浓度差成正比。因此，x必满足微分方程

6、dx=kc(−x)，其中k为一正常数。dt5.蒸发作用一湿而有气孔的物质的水份散失率与当时的含水量x(t)dx成正比，由此可得方程式=−kx，其中k是正常数。dt6.化学反应若温度不变，则化学反应的速度正比于各反应物质的浓度之积。如两反应物质原本的质量分7时间内容教学建议分配别为a及b，而x代表所生成物质的质量，则x必满足方dx程=ka()−x(b−x)，其中k是正常数。dt7.改良的人口增长定律dN2这是一个利用微分方程=−aNbN加以改良的人口dt2模式，其中aN是出生率，−bN是死亡率，而N是当时的人口个数。这里，a及b都是正常数。8.细菌的传播dN这里考虑方程式=kN(

7、P−N)，其中N是时间t时受细dt菌感染的人口个数，而P是可能受到感染的总人口个数，并假定N的变化率正比于N及P−N的积。在以上例子中，教师除了引导学生建立及解微分方程外，亦应着重其解的理解。1.4线性微分方程4dy对于能化简为线性形式+p()xy=q(x)的方程，可利dydx+=px()yqx()dx用积分因子求解。教师应强调由于这是一阶方程，其解只有一∫px()dx的解个任意常数，所以积分因子e也不应有积分常数，而事实上p(x)的任一原函数都能达到其目的。由经验所得，学生很容易忘记积分因