1.8一阶微分方程应用举例

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1、教案教研室：教师姓名：授课时间:课程名称常微分方程授课专业和班级授课内容1.8一阶微分方程应用举例授课学时2学时教学目的一阶微分方程的应用教学重点一阶微分方程的应用教学难点一阶微分方程的应用教具和媒体使用板书教学方法讲授法教学过程包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题布置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容时间分配(90分钟)一、复习旧课二、引入新课三、重难点讲授1.8一阶微分方程应用举例1.8.1 等角轨线1.8.2动力学问题1.8.3流体混合问题四、作业与习题布置板书设计1.8一阶

2、微分方程应用举例1.8.1 等角轨线1.8.2动力学问题1.8.3流体混合问题讲授新拓展内容课后总结教研室主任签字年月日讲稿讲　　授　　内　　容备注一、复习旧课一阶微分方程求解方法二、重难点讲授1.8一阶微分方程应用举例一般说来，用常微分方程去解决某些实际问题的过程分以下三个步骤：I．建立方程　对所研究问题，根据已知定律或公式以及某些等量关系列出微分方程和相应初值条件II．求解方程III．分析问题通过已求得的解的性质，分析实际问题.　　1.8.1 等角轨线　　我们来求这样的曲线或曲线族，使得它与

3、某已知曲线族的每一条曲线相交成给定的角度.这样的曲线称为己知曲线的等角轨线.当所给定的角为直角时，等角轨线就称为正交轨线.等角轨线在其它很多学科(如天文、气象等)中都有应用.下面就来介绍求等角轨线的方法.　　首先把问题进一步提明确一些．  　　设在(x,y)平面上，给定一个单参数曲线族(C)：.求这样的曲线，使得l与(C’)中每一条曲线的交角都是定角(图1-3)　图1-3　　设l的方程为.为了求，我们先来求出所应满足的微分方程，也就是要先求得的关系式.条件告诉我们l与(C’)的曲线相交成定角，于

4、是，可以想见，y1和y1’必然应当与(C’)中的曲线y=y(x)及其切线的斜率y’有一个关系.事实上，当时，有或　(1.81)当时，有(1.82)　　又因为在交点处，,于是，如果我们能求得的关系，即曲线族(C)所满足的微分方程(1.8)只要把y=y1和(1.81)或(1.82)代入(1.8)，就可求得x,y1.y1’所应满足的方程了.　　如何求(1.8)呢?采用分析法.　　设y=y(x)为(C’)中任一条曲线，于是存在相应的C，使得因为要求x,y,y’的关系，将上式对x求导数，得　　　　　　(1

5、.84)　　这样，将上两式联立，即由 　　　　　　 　　(1.85)消去C，就得到x,y(x),y’(x)所应当满足的关系这个关系称为曲线族(C’)的微分方程.于是，等角轨线()的微分方程就是　　　(1.86)而正交轨线的微分方程为　　　　　　   　(1.87)　　为了避免符号的烦琐，以上两个方程可以不用y_1，而仍用y，只要我们明确它是所求的等角轨线的方程就行了.　　为了求得等角轨线或正交轨线，我们只需求解上述两个方程即可. 例1　求直线束y=Cx的等角轨线和正交轨线.　　解　首先求直线族y

6、=Cx的微分方程.　　将对求x导,得y’=c，由消去C，就得到y=Cx的微分方程　　　　　　　　　　　　　　　　　当时，由(1.86)知道，等角轨线的微分方程为或及即积分后得到或。如果写成极坐标形式，不难看出等角轨线为对数螺线(图1-4).　　　如果，由(1.87)可知，正交轨线的微分方程为即或　　　　　　　　　　　　　故正交轨线为同心圆族如(图1-5).   　　　　　　　　　   　　　　　　　　　图1-51.8.2动力学问题前面已经说过，动力学的基本定律是牛顿第二定律f=ma,这也是用微分

7、方程来解决动力学的基本关系式.它的右端明显地含有加速度a，a是位移对时间的二阶导数.列出微分方程的关键就在于找到外力f和位移及对时间的导数——速度的关系.只要找到这个关系，就可以由f=ma列出微分方程了.　　在求解动力学问题时，要特别注意力学问题中的定解条件，如初值条件等.　　例2　物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用，在速度不太大的情况下(低于音速的4／5)，空气阻力可看做与速度的平方成正比.试证明在这种情况下，落体存在极限速度v_1。解　设物体质量为m，空气阻力系数为k，又设

8、在t时刻物体的下落速度为v，于是在时刻物体所受的合外力为(重力-空气阻力)   这里，建立的坐标系，使得重力mg方向向下，与运动方向一致，空气阻力方向向上，与运动方向相反。从而，根据牛顿第二定律可列出微分方程（1.88）　　因为是自由落体，所以有v(0)=0　(1.89)解(1.88)，由(1.89)有积分得或=2解出v，得　　　　　　　　　　　　　　　　　当时,有(1.90)　　据测定，,其中为物体形状有关常数，为介质密度，为物体在地面上的投影面积.　　人们正是根据公式(1.90)，来为跳伞者