1.8应用举例习题课

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时间:2017-11-08

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1、即Vandermonde恒等式解释1:从m个互异红球和n个互异蓝球中取r个球,按r个球中红球的个数分类.解释2:(0,0)到(m+n-r,r)点的路径.(0,0)→(m-r+k,r-k)→(m+n-r,r)C(m,r-k)C(n,k)P(m-r,r)(m+n-r,r)(m-r+k,r-k)k=0,1,2,…,rQ(m,0)1.7组合意义的解释1.7组合意义的解释m+nmnmnmnm0011mm()=()()+()()+…+()()9.(1.7.9)在8.中令r=m≤n,再将换成即得例1从号码1,2,…N中每次取出一个并登记,然后放回,连取n次,得到一个由n个数字组成的数列,

2、问按这种方式能得到(1)多少个严格递增数列(n≤N);(2)多少个不减数列?解(1)无重组合C(N,n)(2)可重组合C(N+n-1,n)1.8应用举例例2某保密装置须同时使用若干把不同的钥匙才能打开。现有7人,每人持若干钥匙。须4人到场,所备钥匙才能开锁。问①至少有多少把不同的钥匙?②每人至少持几把钥匙?1.8应用举例解①每3人至少缺1把钥匙,且每3人所缺钥匙不同。故至少共有C(7,3)=35把不同的钥匙。②任一人对于其他6人中的每3人,都至少有1把钥匙与之相配才能开锁.故每人至少持C(6,3)=20把不同的钥匙。注:任意3个人所持的钥匙至少比规定的少1把,不同的3人组所

3、缺的钥匙是不同的,否则,比如{a,b,c}与{a,b,d}所缺的钥匙相同,这样两组合并有4人{a,b,c,d}仍缺1把钥匙,与4人到场就不缺钥匙的假设相矛盾,故至少有C(7,3)把钥匙。7个人中的任意一个人必须有足够多的钥匙,对于其他6人中的每3个人都至少有1把不同的钥匙与之相配才能开锁,故每人至少持C(6,3)把钥匙。1.8应用举例这里所做的分析还只是一种可能性,为了容易理解,举一个较简单的例子加以说明,注意这个例子构造的对称性或均衡性:比如:现有4人,每人持若干钥匙。须3人到场,所备钥匙才能开锁。所求如上。那么共有C(4,2)=6把不同的钥匙。每人有C(3,2)=3把钥

4、匙。1.8应用举例例3有4个相同质点,总能量为4E0,E0是常数。每个质点所具能量为kE0,k=0,1,2,3,4.A)若能级为kE0的质点可有k2+1种状态,而且服从Bose-Einstein分布,即同能级的质点可以处于相同的状态,问系统有几种不同的状态?(或图像)B)若能级为kE0的质点可有2(k2+1)种状态,而且服从Fermi-Dirac分布,即不允许同能级的两个质点有相同状态,问系统有几种不同状态?(或图像)1.8应用举例解能级k01234A)k+11251017状B)2(k+1)24102034态22能量分布0,0,0,40,0,1,30,0,2,2A)1·1·

5、1·171·1·2·101·1·C(5,2)B)C(2,3)·34C(2,2)·4·20C(2,2)·C(10,2)能量分布0,1,1,21,1,1,1A)1·C(2,2)·5C(2,4)72B)2·C(4,2)·10C(4,4)246———1.8应用举例1.8应用举例例4.凸n边形没有3条对角线交于一点.计算各边及各对角线所组成的互不重叠的多边形区域的个数.1.8应用举例解令Nk:区域中k边形的个数。从两种角度计算各区域的顶点数(包含重复计得的数目)首先可以如下计算其中m是最大多边形的边数。另一方面,每两条对角线决定一个内部多边形的顶点,因此(1)式中计算内部的多边形顶点

6、数所得数值是4C(n,4)(每个内部顶点在(1)式中重复计算4次,因为总是4个区域共一个顶点)1.8应用举例而(1)中凸多边形的每个顶点重复计数n-2次,故现在,再从两个角度来计算所有区域的内角和的总和,首先,它显然是1.8应用举例第一章习题1.3.m个男生,n个女生,排成一行,其中m,n都是正整数,若(a)男生不相邻(m≤n+1);(b)n个女生形成一个整体;(c)男生A和女生B排在一起;分别讨论有多少种方案.解:首先所有数都用6位表示,从000000到999999中在每位上0出现了105次,所以0共出现了6·105次,0出现在最前面的次数应该从中去掉,000000到99

7、9999中最左1位的0出现了105次,000000到099999中左数第2位的0出现了104次,000000到009999左数第3位的0出现了103次,000000到000999左数第4位的0出现了102次,000000到000099左数第5位的0出现了101次,000000到000009左数第6位的0出现了100次。另外1000000的6个0应该被加上。所以0共出现了6·105–105–104–103–102–101–100+6=488895次。1.15.试求从1到1000000的整数中,0出现了多少次?解:每个

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