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《高等数学第03章：导数.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一节导数的概念一、导数概念的引例二、导数的概念与几何意义三、可导与连续的关系四、小结一、导数概念的引例例1变速直线运动的速度--播放例2平面曲线的切线斜率割线的极限位置切线？如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即二、导数的概念与几何意义1.导数的概念定义1其它形式:即★★关于导数的说明：注意:★右导数:左导数:单侧导数定义2定理1函数在点处可导左导数和右导数都存在且相等.步骤:2.用定义求导数例3解更一般地,例如,例4解例5解例6解例7解3.导数的几何意义切线方程为:法线方程为:解因，由导
2、数几何意义,曲线在的切线与法线的斜率分别为于是所求的切线方程为，即．法线方程为，即．例8求曲线在点处的切线和法线方程．三、可导与连续的关系证定理2如果函数在点处可导，则在点处连续．注意：定理2的逆命题不成立.例9因为则而证1.导数的实质:增量比的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;5.函数可导一定连续,但连续不一定可导。4.求导数最基本的方法:由定义求导数;四、小结例2平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置例2平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置例2平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置例2平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置例2平面曲线的
3、切线斜率切线？割线的极限位置例2平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置例2平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置例2平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置播放例2平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置例2平面曲线的切线斜率切线？割线的极限位置第二节求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则二、复合函数的求导法则三、反函数的导数四、初等函数的导数五、隐函数和由参数方程确定的函数的导数设函数与在点处均可导，则它们的和、差、积、商（当分母不为零时）在点处也可导，且有以下法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1(1)求增量:给自变量一个增量，则证(1
4、)、(2)略.证(3)令(2)算比值:(3)取极限:因在点处可导，则在该点处必连续，故当时,，.又当时，所以，特别地，若则可得公式定理推广：例1设,求解例2设,求．解用类似地方法，可得解例3求的导数．即例4求的导数．．用类似地方法，可得即解定理2即由外层向内层逐层求导再相乘（链导法）或或二、复合函数的求导法则证如三层复合，或或推广对于多次复合的函数，其求导公式类似，解可看作是由复合而成的，因此例5设，求．例6设，求．解三、反函数的求导法则如果单调连续函数在某区间内可导,且，则它的反函数在对应的区间内可导，且有定理3即反函数的导数等于直接函数导数的
5、倒数.因是的反函数，故可将函数中的看作中间变量，从而组成复合函数．上式两边对求导，应用复合函数的链导法，得证或因此是的反函数，而在区间内单调且可导，且，因此在对应的区间内，有求函数的导数．例7解即同理可得例8求函数的导数是的反函数，而在区间内单调且可导，且,因此在对应的区间上，有解即同理可得1.常数和基本初等函数的导数公式四、初等函数的导数2.函数的和、差、积、商的求导法则设)(),(xvvxuu==可导，则（1）vuvu¢¢=¢)(,（2）uccu¢=¢)(（3）vuvuuv¢+¢=¢)(,（4）)0()(2¹¢-¢=¢vvvuvuvu.(是常
6、数)3.复合函数的求导法则注意：(1)利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.(2)初等函数的导数仍为初等函数.例9设，求．解所以例10解解方法1函数可以写成所以例11求将函数两边取自然对数，即．两边对求导，注意左端的是的函数，由链导法，有因此方法2方法2称为对数求导法，一般地对于函数（称为幂指函数）对数求导法除适用于幂指函数外，还适用于多个因式连乘的函数．解等式两边取对数得例12五、隐函数和由参数方程确定函数得导数定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.1.隐函数的导
7、数例1解解得例2解所求切线方程为显然通过原点.2.由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得例6解所求切线方程为于是所求的切线方程为例15求曲线在处的切线方程解曲线上对应的点为，曲线在处的切线斜率为六、高阶导数如果函数的导函数仍是的可导函数，就称的导数为函数的二阶导数,记作或即或类似地，这个定义可推广到的更高阶的导数,而加速度是速度对时间的导数,是位置函数对时间的二阶导数,即．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数有明显的物理意义:考虑物体的直线运动，设位置函数为则速度为如阶导数
8、例16设，求解特别地，根据高阶导数的定义，求函数的高阶导数就是将函数逐次求导，因此，前面介绍的导数运算法则与导数基本公式，仍然适用于高阶
