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1、9.2偏导数9.2.1偏导数的概念及其计算法例如,二元函数z=f(x,y),先让y固定(即y视为常数),这时z就是x的一元函数,z对x的导数,为求一元函数的变化率,我们引入了导数的概念.对于多元函数,我们先考虑它关于一个自变量的变化率.称为二元函数z对x的偏导数.1设二元函数z=f(x,y),P0(x0,y0)为平面上一点.定义9.3如果z=f(x,y0)在x0的某一邻域内有定义且在x0点即极限存在,则称此极限为函数对x的偏导数,记为或可导,2同理,可定义函数在点处对y的偏导数为记为或3的偏导数,如果函数z=f(x,
2、y)在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y同理,可以定义函数对自变量y数,简称偏导数.的函数,称其为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函记作或记作或4求多元函数的偏导数并不需要新的方法,利用一元函数只需将y看作常量,的求导法对x求导即可.解例求在点处的偏导数．5证证毕．例设证明6偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在处7解利用函数关于自变量的对称性,有例求的偏导数．8三个偏导数.解求某一点的偏导数时,例变为一元函数,代入,在点(1,0,2)处的可将其它变量的值再求导,常常较简单.9
3、求在点(1,0)处的两个偏导数.解1练习解210证例已知理想气体的状态方程(R为常数),求证:11有关偏导数的几点说明：例解1.偏导数是一个整体记号,不能拆分;2.分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;12按定义得133.偏导数存在与连续的关系但函数在该点处没有极限，所以不连续.偏导数存在连续.一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，由前面的例子可知在(0,0)处,例如,函数14例研究函数在(0,0)点的解因为连续性与可偏导性.所以,函数在(0,0)点连续.而所以,15二元函数f(x,y)在点(x0
4、,y0)处两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的().A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件D练习16设二元函数在点有如图,为曲面偏导数.上的一点,过点作平面此平面与曲面相交得一曲线,曲线的方程为由于偏导数等于一元函数的导数故由一元函数导数的几何意义9.2.2偏导数的几何意义17可知:偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对x轴的斜率;偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对y轴的斜率.18设19例求曲线在点(2,4,5)处的切线与
5、x轴正向所成的倾角.解20纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.9.2.3高阶偏导数函数的二阶偏导数为21解例设求22一般地,多元函数的高阶混合偏导数如果连续就与求导次序无关.如果函数的两个二阶混合偏在区域D内连续,定理9.1那么在导数该区域内如问题:混合偏导数都相等吗?具备怎样的条件才相等?23解利用函数关于自变量的对称性例验证函数满足拉普拉斯方程24例验证函数满足波动方程:证因故有练习25例26答案:0解练习27解练习作业习题9.2(P166)1.(4)(5)2(2).3.4.(1)(2)82
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