2014年考研数学二----多元函数微积分.ppt

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1、2014年考研数学必考点----多元函数微分学与条件极值一、多元函数微分学1、抽象复合函数的求解手段：（1）“链锁法则”（或者“树形结构”)求解要点：a区分函数的个数b区分函数的关系c针对具有中间变量的微分方程，尤其是求解二阶导数时候，一定要注意不要漏解中间变量d区分”两种形式”的多元函数eg:f(x+y,y+z,z+x)与f(x+y+z)（2）作变量代换的函数满足的某种变形求解手段：a将中间变量替换后，依然对原来的函数按照“链锁法则”求解，求解的过程将中间变量带入即可b将所要求解的形式表示出来后，再带入已知条件进行替

2、换就会得到最后的结论（3）多元函数的全微分（填空题与解答题中切记勿忘dx和dy历年真题典型例题分析06、09、10、11（两道）年真题分析与预测：（1）纵观历年真题可以发现，多元函数的求解主要集中在这么两种方法上：a“树枝结构法“和”全微分的不变性“b针对隐函数的求导公式很少有涉及（2）这种考题的一大特色是考察学生对定理的熟悉程度与判断”自变量“和函数之间的关系，只要计算能力过关，这种试题基本可以拿满分.（3）将来的考察方式基本和历年一样，不过可能会结合其他考点，这点必须引起重视.eg2011年二、条件极值与最值1条件

3、极值两大类（1）无条件极值（2）有条件极值基本解法：“条件验证法”与“拉格朗日乘法”解题步骤：a构造拉格朗日函数b求解约束条件下的极值点或者最值点c带回原方程解，最后根据结论要求比较找出最合适的解2多元函数的最值（1）求解实际问题中的多元函数最值问题在实际问题中，如果由条件判定函数在区域D内一定取得最大值与最小值，而函数在D内有且只有一个可能的极值点，则函数在该点处的函数值即为最大值或者最小值。（2）求解多元函数的条件最值问题求解二元函数在有界闭区域上的最大值与最小值问题，即为多元函数的条件极值问题。解题步骤：a求出函

4、数在区域内所有的驻点b求出函数在D的边界上的值c比较函数在驻点和边界上的值，最大者为最大值，最小者为最小值。历年真题典型例题分析05、08、12、13年真题分析与预测：（1）纵观历年真题，不难发现考点中主要考察了：a条件极值的条件;b条件极值的计算过程与驻点的求解（2）从历年真题中我们可以总结出几点：a考察的考点基本不变，以“多为拉格朗日乘法”为主.b主要考察学生的计算能力与考场处理具体问题的应变能力.二、利用直角坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算四、利用被积分函数与积分区间的对称性化简计算二重积

5、分一、利用二重积分的定理与性质计算与比较、估值一、利用二重积分的定理与性质计算与比较、估值补充：比较和估计定积分针对定积分：（1）比较同一函数在不同区间的大小（2）比较不同函数在同一区间的大小（3）比较不同函数在不同区间的大小方法：A针对（2）类，一般用作差法B针对（1）类，一般用分解区间法，把一个区间划分为含有已知的小区间，然后通过变量代换eg:二、利用直角坐标计算二重积分直角坐标系下的几种类型：（1）计算需要根据积分区域选择积分次序的二重积分（2）计算需要根据被积函数选择积分次序的二重积分《注意：此时交换积分次序时

6、，有一个问题值得注意：一定要保证交积分上限大于下限，这样才可以交换积分次序eg2001年填空题1题》交换积分次序常见的情况：例2.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,a被积分函数不是初等函数的情形eg:sinx/x，cosx/x之类的b被积分函数仅仅是一个变量的函数c内层积分或者外层积分不易求出的（注意：此时可以按照积分的几何意义）（3）计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分（考试重点）（4）计算积分区域关于直线y=x对称的二重积分（5）分块计算的二重积

7、分（考试重点）《1》被积函数含有绝对值符号的二重积分（eg2005年21题------经典题型）《2》被积函数含有符号max/min的二重积分（2008年18题）三、利用极坐标计算二重积分极坐标下的几种常见类型与问题：（1）这里面含有很多种圆域的形式，不局限于常见的形式（2）计算圆域形式的二重积分时有时“坐标平移法”在考场上会让你胜出一筹（2009年19题------经典题型）（3）求解“两圆或者圆与其他图形”公共部分上的二重积分（重要考点）思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1

8、)(2)极坐标下一定要注意角度的变化范围例.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称