硕士研究报生入学考试数学二试题及答案解析.doc

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1、个人资料整理仅限学习使用2008年考研数学二试卷分析、详解和评注一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内>(1>设，则的零点个数为【】．(A>0.(B>1.(C>2.(D>3．【答案】应选(D>.【详解】．令，可得有三个零点．故应选(D>.(2>曲线方程为，函数在区间上有连续导数，则定积分在几何上表示【】．(A>曲边梯形的面积．(B>梯形的面积．(C>曲边三角形面积．(D>三角形面积．【答案】应选(C>.【详解】，其中是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形ACD的面积．故应选

2、(C>.(3>在下列微分方程中，以<为任意的常数）为通解的是【】．(A>.(B>.(C>.(D>.　【答案】应选(D>.【详解】由，可知其特征根为，，故对应的特征值方程为所以所求微分方程为．应选(D>.个人资料整理仅限学习使用(4>判定函数，间断点的情况【】．(A)有一个可去间断点，一个跳跃间断点．(B>有一跳跃间断点，一个无穷间断点．(C>有两个无穷间断点.(D>有两个跳跃间断点.【答案】应选(A>.(5>设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是【】．(A>若收敛，则收敛(B>若单调，则收敛(C>若收敛，则收敛.(D>若单调，则收敛.【答案】应选(B>.【详解】若

3、若单调，则由函数在内单调有界知，若单调有界，因此若收敛．故应选(B>.(6>设函数连续，，，若，则【】．(A>(B>(C>(D>【答案】应选(A>.【详解】利用极坐标，得，所以．故应选(A>.(7>设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵．若，则下列结论正确的是【】．(A>不可逆，则不可逆.(B>不可逆，则可逆.(C>可逆，则可逆.(D>可逆，则不可逆.【答案】应选(C>.【详解】，．故，均可逆．故应选(C>.(8>设，则在实数域上，与A合同矩阵为【】．(A>.(B>.(C>.(D>.　个人资料整理仅限学习使用【答案】应选(D>.【详解】则，记，则则，正负惯性指数相同.故选D.二、

4、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.>(9>已知函数连续，且，则【答案】应填．(10>微分方程的通解是.【答案】应填．(11>曲线在点的切线方程为.【答案】应填．【详解】(12>曲线的拐点坐标为.【答案】．【详解】(13>设，则.【答案】．(14>设3阶矩阵的特征值为．若行列式，则___________.【答案】应填．三、解答题(15－23小题，共94分>．个人资料整理仅限学习使用(15>(本题满分9分>求极限．【详解1】＝(或，或>．【详解2】＝<或）．(16>(本题满分10分>设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解，求．【详解1】由

5、得，积分得．由条件，得，即，故．个人资料整理仅限学习使用方程组两端同时对求导得．所以，从而．17<本题满分9分）计算．【详解1】由于，故是反常积分．令，有，．．【详解2】个人资料整理仅限学习使用令，有，．，所以．(18>(本题满分11分>计算，其中．【详解】将区域分成如图所示得两个子区域和．于是．(19>(本题满分11分>设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且．对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式．【详解】根据题意，因为个人资料整理仅限学习使用旋转体体积，侧面积．所以．上式两边

6、同时对求导得．解得，．由，得．所以或．(20>(本题满分11分>(I)证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得；(II)若函数具有二阶导数，且满足，，则至少存在一点，使得．【证法1】若函数在闭区间上连续，则必存在最大值和最小值．即，于是有．即根据闭区间上连续函数的介值定理，在上至少存在一点，使得因此而的证．求函数在约束条件和下的最大值和最小值．【详解1】作拉格朗日函数．令解之得故所求得最大值

7、为72,最小值为6．【详解2】由题意知，在条件下的最值．令个人资料整理仅限学习使用解之得故所求得最大值为72,最小值为6．(22>(本题满分12分>．设元线性方程组，其中，，．