2012年全国硕士研究生入学考试数学二试题及解析

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1、2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线渐进线的条数（A）0（B）1（C）2（D）3（2）设函数，其中为正整数，则（A）（B）（C）（D）（3）设，，则数列有界是数列收敛的.（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）非充分也非必要（4）设，则有（A）（B）（C）（D）（5）设函数为可微函数，且对任意的都有，，则使不等式成立的一个充分条件是（A），（B），（C），（D），（6）设区域由曲线，，围成，则（A）（B）2（C）

2、（D）（7）设，，，，其中为任意常数，则线性相关的向量组为（A）（B）（C）（D）（8）设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且，，则（）（A）（B）（C）（D）二、填空题：9-14小题，每小题4分。请将答案写在答题纸指定位置上。（9）设是由方程所确定的隐函数，则____________（10）____________（11）设，其中函数可微，则____________（12）微分方程满足条件的解为____________（13）曲线上曲率为的点的坐标是____________（14）设为3阶矩阵，，为的伴随矩阵，若交换的第一行与第二行得到矩阵，则____________三、解答题：15-23，共94

3、分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤。（15）（本题满分10分）已知函数，记（Ⅰ）求的值（Ⅱ）若当时，是的同阶无穷小，求。（16）（本题满分10分）求的极值（17）（本题满分12分）过点作曲线的切线，切点为，又切线与轴交于点，区域由与线段及轴围成，求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积。（18）（本题满分10分）计算二重积分，其中区域为曲线与极轴围成（19）（本题满分10分）已知函数满足方程及，（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）求曲线的拐点。（20）（本题满分10分）证明：。（21）（本题满分10分）（Ⅰ）证明方程（的整数），在区间内有且有唯一个实根；（Ⅱ）记（

4、Ⅰ）中的实根为，证明存在，并求此极限。（22）（本题满分11分）设，（Ⅰ）求；（Ⅱ）当实数为何值时，线性方程组有无穷多解，并求其通解。（23）（本题满分11分）已知，二次型的秩为2.（Ⅰ）求实数的值（Ⅱ）求利用正交变换将化为标准型。2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：（1）【答案】C【分析】本题考查渐近线的概念与求法.【详解】水平渐近线：因为，所以该曲线只有一条水平渐近线；垂直渐近线：函数的定义域为，又因为，，所以该曲线只有一条垂直渐近线；斜渐近线：因为，所以该曲线没有斜渐近线。故应选(C).（2）【答案】A【分析】考查导数定义或求导公式。本题既可以用导数定义求，也可

5、求出导函数再代入点。【详解】法一：由题设知而法二：因为所以，故应选（A）（3）【答案】B【分析】本题考查数列的性质和级数的性质。【详解】法一：充分性：因为，所以数列单调递增，又因为数列有界，所以数列收敛，从而。非必要性：令，则数列收敛，而数列无界；故应选（B）。法二：充分性：因为，所以数列单调递增，又因为数列有界，所以数列收敛，从而级数收敛，有级数收敛的必要条件可得非必要性：令，则数列收敛，而数列无界；故应选（B）。（4）【答案】D【分析】考查定积分性质、定积分换元积分法。【详解】法一:先比较与大小由于（因为时，），所以；再比较与的大小由于（因为时，），所以；最后比较与的大小由于，所以；故应选

6、（D）。法二:；，因为时，，所以，并且连续，所以，因此；令，则从而当时，显然有，所以，，从而，又因为连续，所以有，故。综上，故应选（D）。（5）【答案】A【分析】本题考查偏导数与导数关系、单调的判定定理。【详解】因为，若，则；又因为，若，则，所以当，时，，故应选（A）（6）【答案】D【分析】二重积分的计算，首先应画出区域，观察其是否具有某种对称性，如具有对称性,则应先考虑利用对称性化简二重积分，然后选择适当坐标系化为二次积分计算。【详解】法一：画出积分区域的草图如右图所示。用曲线将划分为如图所示显然关于轴对称，关于轴对称，从而由对称性可得：故应选（D）（7）【答案】C【分析】考查向量组线性相关

7、的判定.三个三维向量构成的向量组既可以用行列式是否为零来判是否线性相关，又可以利用矩阵的秩来讨论。本题利用行列式判定快速、直接。【详解】因为；；；。由于为任意常数，所以线性相关。故应选（C）。（8）【答案】B【分析】考查矩阵的运算。将用表示，即，然后代入计算即可。【详解】由于，所以，则，故故应选（B）。二、填空题（9）【答案】1【分析】考查隐函数求导数，常用方法是用微商或隐函数求导法则完成。【详解