硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析(1)

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1、小公鸡鸡鸡鸡2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)当时，与等价的无穷小量是(A).(B).(C).(D).　[B]【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当时，有；；利用排除法知应选(B).(2)函数在上的第一类间断点是x=(A)0.(B)1.(C).(D).　[A]【分析】本题f(x)为初等

2、函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。【详解】f(x)在上的无定义点，即间断点为x=0,1,又，，可见x=0为第一类间断点，因此应选(A).(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是(A).(B).(C).(D).　[C]【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f(x小样小公鸡鸡鸡鸡)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解】根

3、据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：，F(3)是两个半圆面积之差：=，因此应选(C).(4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是(A)若存在，则f(0)=0.(B)若存在，则f(0)=0.(C)若存在，则存在.(D)若存在，则存在[D]【分析】本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0.若存在，则，可见(C)也正确，故应选(D).事实上，可举反例：在x=0

4、处连续，且=存在，但在x=0处不可导.(5)曲线，渐近线的条数为(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.　[D]【分析】先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【详解】因为，所以为垂直渐近线；又，所以y=0为水平渐近线；进一步，=，==，于是有斜渐近线：y=x.故应选(D).(6)设函数f(x)在上具有二阶导数，且令,则下列结论正确的是小样小公鸡鸡鸡鸡(A)若，则必收敛.(B)若，则必发散.(C)若，则必收敛.(D)若，则必发散.　[D]【分析】利用反例通过排除法进行讨论。【详解】设f

5、(x)=,则f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(C);设f(x)=,则f(x)在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(B);又若设，则f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(A).故应选(D).(7)二元函数f(x,y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是(A).(B)，且.(C).(D)，且.　[C]【详解】选项(A)相当于已知f(x,y)在点(0,0)处连续，选项(B)相当于已知两个一阶偏导数存在，因此(A),(B)均不能保证f(x,y)在点(0，0)处可微。选项(D)相当于已知两个一阶偏导数存在，

6、但不能推导出两个一阶偏导函数在点(0,0)处连续，因此也不能保证f(x,y)在点(0，0)处可微。若，则，即同理有从而==0小样小公鸡鸡鸡鸡根据可微的定义，知函数f(x,y)在(0，0)处可微，故应选(C).(8)设函数f(x,y)连续，则二次积分等于(A).(B).(C).(D).[B]【分析】先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。【详解】积分区域D:,也可表示为D:,故=，应选(B).(9)设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是(A).(B).(C).(D).[A]【详解】用定义进行判定:令，得.

7、因线性无关，所以又，故上述齐次线性方程组有非零解,即线性相关.类似可得(B),(C),(D)中的向量组都是线性无关的.(10)设矩阵,,则A与B(A)合同,且相似.(B)合同,但不相似.(C)不合同,但相似.(D)既不合同,又不相似.[B]二、填空题(11－16小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.)小样小公鸡鸡鸡鸡(11)=【详解】==(12)曲线上对应于的点处的法线斜率为【详解】因为，于是，故法线斜率为(13)设函数则=【详解】一般地，，从而=(14)二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为其中为任

8、意常数.【详解】特征方程为，解得可见对应齐次线性微分方程的通解为设非齐次线性微分方程的特解为，代入非齐次方程可得k=−2.故通解为(15)设f(u,v)是二元可微函数，则=【详解】，，于是有=小样小公鸡鸡鸡鸡(16)设矩阵,则的秩为1.【详解】依矩阵乘法直接计算得,故r()=1.三、解答题：(17－24小题，共86分.)(17)（本题满分10分）设f(x)是区间上的单调、可导函数，且满