2008年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析

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1、小公鸡鸡鸡鸡2008年考研数学二试题分析、详解和评注一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设，则的零点个数为【】．(A)0.(B)1.(C)2.(D)3．【答案】应选(D).【详解】．令，可得有三个零点．故应选(D).(2)曲线方程为，函数在区间上有连续导数，则定积分在几何上表示【】．(A)曲边梯形的面积．(B)梯形的面积．(C)曲边三角形面积．(D)三角形面积．【答案】应选(C).【详解】，其中是矩形面积，为曲边梯形的面积，

2、所以为曲边三角形ACD的面积．故应选(C).(3)在下列微分方程中，以（为任意的常数）为通解的是【】．(A).(B).(C).(D).　【答案】应选(D).【详解】由，可知其特征根为，，故对应的特征值方程为所以所求微分方程为．应选(D).小样小公鸡鸡鸡鸡(4)判定函数，间断点的情况【】．(A)有一个可去间断点，一个跳跃间断点．(B)有一跳跃间断点，一个无穷间断点．(C)有两个无穷间断点.(D)有两个跳跃间断点.【答案】应选(A).(5)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是【】．(A)若收敛，则收敛(B)若单调，则收

3、敛(C)若收敛，则收敛.(D)若单调，则收敛.【答案】应选(B).【详解】若若单调，则由函数在内单调有界知，若单调有界，因此若收敛．故应选(B).(6)设函数连续，，，若，则【】．(A)(B)(C)(D)【答案】应选(A).【详解】利用极坐标，得，所以．故应选(A).(7)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵．若，则下列结论正确的是【】．(A)不可逆，则不可逆.(B)不可逆，则可逆.(C)可逆，则可逆.(D)可逆，则不可逆.【答案】应选(C).【详解】，．故，均可逆．故应选(C).(8)设，则在实数域上，与A合同矩阵为【】．(A)

4、.(B).(C).(D).　小样小公鸡鸡鸡鸡【答案】应选(D).【详解】则，记，则则，正负惯性指数相同.故选D.二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.)(9)已知函数连续，且，则【答案】应填．(10)微分方程的通解是.【答案】应填．(11)曲线在点的切线方程为.【答案】应填．【详解】(12)曲线的拐点坐标为.【答案】．【详解】(13)设，则.【答案】．(14)设3阶矩阵的特征值为．若行列式，则___________.【答案】应填．三、解答题(15－23小题，共94分)．小样小公鸡鸡鸡鸡(1

5、5)(本题满分9分)求极限．【详解1】＝(或，或)．【详解2】＝（或）．(16)(本题满分10分)设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解，求．【详解1】由得，积分得．由条件，得，即，故．小样小公鸡鸡鸡鸡方程组两端同时对求导得．所以，从而．17（本题满分9分）计算．【详解1】由于，故是反常积分．令，有，．．【详解2】小样小公鸡鸡鸡鸡令，有，．，所以．(18)(本题满分11分)计算，其中．【详解】将区域分成如图所示得两个子区域和．于是．(19)(本题满分11分)设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且．对任意的，直线，曲线以

6、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式．【详解】根据题意，因为小样小公鸡鸡鸡鸡旋转体体积，侧面积．所以．上式两边同时对求导得．解得，．由，得．所以或．(20)(本题满分11分)(I)证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得；(II)若函数具有二阶导数，且满足，，则至少存在一点，使得．【证法1】若函数在闭区间上连续，则必存在最大值和最小值．即，于是有．即根据闭区间上连续函数的介值定理，在上至少存在一点，使得因此而的证．（II）存在，使得．

7、由，知．小样小公鸡鸡鸡鸡由，利用微分中值定理，存在，使得．由，利用微分中值定理，存在，使得．存在存在，使得．（21）(本题满分11分)求函数在约束条件和下的最大值和最小值．【详解1】作拉格朗日函数．令解之得故所求得最大值为72,最小值为6．【详解2】由题意知，在条件下的最值．令小样小公鸡鸡鸡鸡解之得故所求得最大值为72,最小值为6．(22)(本题满分12分)．设元线性方程组，其中，，．（I）证明行列式；（II）当为何值时，该方程组有惟一解，并求．（III）当为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I）【证法1】

8、数学归纳法．记以下用数学归纳法证明．当时，，结论成立．当时，，结论成立．假设结论对小于的情况成立．将按第一行展开得小样小公鸡鸡鸡鸡故．【注】本题（1）也可用递推法．由得，．于是（I）【证法2】消元法．记小样小公鸡鸡鸡鸡．（II）【详解】当时，方程组系数行列式，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将得第一列换